Calcul des distances avec une approximation inférieure à 2 dans les graphiques généraux?

Étant donné un graphe non orienté pondéré avec arêtes, je voudrais calculer des distances d'approximation inférieures à 2 entre une paire de sommets donnée. Bien sûr, je voudrais utiliser l'espace sous-quadratique et le temps de requête sublinéaire. $m = o(n^2)$

Je connais le résultat de Zwick qui utilise la multiplication matricielle, mais je suis curieux de savoir si des algorithmes combinatoires sont connus pour ce problème?

ds.algorithms graph-algorithms

— Siddhartha
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Salut @Siddhartha, je suis désolé si c'est une question stupide: le résultat de Zwick semble utiliser l'espace quadratique, est-ce correct?

— Hsien-Chih Chang 張顯之

De plus, une erreur additive est-elle autorisée?

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-ChihChang 張顯之 - Je n'étais intéressé que par les résultats sur l'approximation multiplicative. Le cas de l'approximation additive peut être intéressant en soi - plus facile pour les graphiques denses, je suppose. On peut utiliser une clé et obtenir une approximation additive pour des graphiques suffisamment denses. Pour les graphiques clairsemés, pour autant que je sache, les clés n'ont pas aidé.

— Siddhartha

L'argument suivant ne fonctionne-t-il pas? Considérons tout graphe

avec

sommets et

arêtes. Considérez tous les poids des bords comme étant

. n'importe quel oracle de distance qui peut faire une approximation strictement meilleure que

, peut être utilisé pour décider pour chaque bord possible, qu'il soit ou non dans le graphique. Mais cela implique bien sûr qu'un tel oracle de distance doit utiliser des bits

. Non? (L'argument est un peu ondulé mais devrait être correct.) (Formellement, le nombre de bits est , où . Il s'agit de .

G

$G$

n

$n$

m

$m$

1

$1$

2

$2$

Ω (m)

$\Omega(m)$

\log_{2} (\binom{N}{m})

$\log_2 \binom{N}{m}$

N = (\binom{n}{2})

$N=\binom{n}{2}$

\geq m \log_{2} (N / m)

$\geq m \log_2 (N/m)$

— Sariel Har-Peled

Merci Sariel - il peut être possible de dériver une limite inférieure mais je suis d'accord avec ça. Tout ce que je voudrais, c'est un espace sous-quadratique et un temps de requête sublinéaire. Pour les graphiques avec arêtes, la limite inférieure ne dit rien du problème - est-ce vrai?

Ω (m)

$\Omega(m)$

m = o (n^{2})

$m = o(n^2)$

Ω (m)

$\Omega(m)$

— Siddhartha

Réponses:

Pour autant que je sache, il n'y a pas de résultat publié sur le calcul de distances d'approximation inférieures à 2 dans l'espace sub-quadratique et le temps de requête sublinéaire. Pour récupérer rapidement les distances approximatives, vous pouvez consulter les résultats et les références dans «Algorithmes plus rapides pour les chemins les plus courts approximatifs toutes paires» de Baswana et Kavitha (la version journal de leur article FOCS contient une bonne revue des travaux connexes); aucun d'entre eux n'atteint l'espace sub-quadratique.

Pour récupérer de manière compacte des distances approximatives, vous pouvez consulter les résultats et les références dans les deux articles ci-dessus. [En plus de la réponse de Gabor, un mot d'avertissement: faites attention à la notion de rareté dans les articles ci-dessus - pour l'approximation , un graphique est dit clairsemé si , comme vous savent probablement déjà]. $2$ $m = o(n^2)$

Comme Sariel l'a souligné dans l'un des commentaires ci-dessus, une limite inférieure naturelle de l'espace pour calculer des distances d'approximation inférieures à est , c'est-à-dire linéaire dans la taille du graphique. Si le temps de requête n'est pas limité, cette limite inférieure ne peut pas être améliorée (trivialement, on peut utiliser l'algorithme du chemin le plus court en stockant simplement le graphique). Pour un temps de requête constant, je connais deux bornes inférieures. Premièrement, Patrascu et Roddity avaient des limites inférieures conditionnelles dans leur document FOCS 2010 qui s'appliquent à une approximation inférieure à . Deuxièmement, Sommer et. Al. avait des limites inférieures pour les graphiques extrêmement clairsemés. Je ne connais aucune autre limite inférieure (non triviale). $2$ $\Omega(m)$ $2$

En termes de limites supérieures, les résultats des articles ci-dessus ne semblent pas se généraliser à une approximation inférieure à . Nous avons récemment fait quelques progrès sur ce problème. Le document devrait être bientôt sur ArXiv, mais si vous le souhaitez, envoyez-moi un e-mail et je serai heureux de partager le document. $2$

J'espère que cela t'aides.

~ Rachit Agarwal

— Rachit
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Vous pourriez être intéressé par l'article INFOCOM 2011 de Rachit Agarwal:

Rachit Agarwal, P. Brighten Godfrey, Sariel Har-Peled Distance approximative Queries and Compact Routing in Sparse Graphs, IEEE INFOCOM 2011

Du résumé:

[Pour un] graphe de degré moyen , des cas particuliers de nos structures de données récupèrent des chemins étirés 2 avec un espace [...] au prix de heure de la requête. $\Theta(\log n)$ $O(n^{3/2})$ $O(\sqrt{n})$

Notez que leur distance oracle est uniquement pour les graphiques clairsemés, mais la limite du degré logarithmique semble plausible. Bonus ajouté, l'algorithme fonctionne également pour les graphiques pondérés.

— Gabor Retvari
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Vous voudrez peut-être aussi jeter un œil à

Pătraşcu, Roditty, Distance Oracles Beyond the Thorup - Zwick Bound , FOCS 2010

Ils ont un oracle de distance de taille avec le tronçon 2. Il prend en charge les requêtes en temps constant. $O(n^{5/3})$

— zotachidil
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Merci! Le journal d'Agrawal et de Mihai ne semble rien dire sur l'approximation "moins de" 2, sauf si j'ai raté quelque chose.

— Siddhartha

Ce n'est pas le cas, mais cela pourrait vous donner une idée de la façon d'obtenir un compromis afin d'améliorer l'étirement.

— zotachidil