Existe-t-il une logique sans induction qui capture une grande partie de P?

Le théorème d'Immerman-Vardi stipule que PTIME (ou P) est précisément la classe de langages pouvant être décrite par une phrase de la logique du premier ordre avec un opérateur à point fixe, sur la classe des structures ordonnées. L'opérateur de point fixe peut être soit le point le moins fixe (selon Immerman et Vardi), soit le point d'inflation fixe. (Stephan Kreutzer, Équivalence expressive de la logique des points minimaux et inflationniste , Annals of Pure et Applied Logic 130 61–78, 2004).

Yuri Gurevich a supposé qu'il n'existait aucune logique pour capturer PTIME ( Logique et le défi de l'informatique , dans Tendances actuelles de l'informatique théorique, ed. Egon Boerger, 1-57, Computer Science Press, 1988), tandis que Martin Grohe a moins sûr ( La quête d'une logique capturant PTIME , FOCS 2008).

L'opérateur de point fixe est conçu pour capter la puissance de la récursivité. Les points fixes sont puissants, mais il n'est pas évident pour moi qu'ils soient nécessaires.

Existe-t-il un opérateur X non basé sur des points fixes, tel que FOL + X capture un (grand) fragment de PTIME?

Edit: Pour autant que je sache, la logique linéaire ne peut exprimer que des déclarations sur des structures ayant une forme assez restrictive. J'aimerais idéalement voir une référence ou un schéma d'une logique capable d'exprimer les propriétés d'ensembles arbitraires de structures relationnelles, tout en évitant les points fixes. Si je me trompe sur le pouvoir expressif de la logique linéaire, un pointeur ou une indication serait la bienvenue.

Vous voulez examiner ce que certaines personnes appellent le théorème de Grädel. Vous pouvez le trouver dans le livre de Papadimitriou "Computational Complexity" (c'est le théorème 8.4 à la page 176) ou dans l' article original de Grädel .

En résumé, le théorème de Grädel est à P ce que le théorème de Fagin est à NP. Il déclare que sur la classe des structures finies avec une relation successeur, la collection des propriétés décidables en temps polynomial coïncide avec celles exprimables dans le fragment de Horn de la logique existentielle du second ordre. Ce sont les phrases de la logique du second ordre de la forme où R est une séquence de variables de relation de second ordre, x est une séquence de variables de premier ordre, et φ est un quantificateur -free formule qui, lorsqu'elle est écrite sous la forme de CNF, est une conjonction de

$$(\exists R)(\forall x)(\phi)$$ $R$$x$$\phi$$R$Les clauses -Horn (c'est-à-dire les clauses qui ont au plus un atome non-négatif impliquant les variables de ).$R$

Pour autant que je sache, la logique linéaire ne peut exprimer que des déclarations sur des structures ayant une forme assez restrictive. J'aimerais idéalement voir une référence ou un schéma d'une logique capable d'exprimer les propriétés d'ensembles arbitraires de structures relationnelles, tout en évitant les points fixes. Si je me trompe sur le pouvoir expressif de la logique linéaire, un pointeur ou une indication serait la bienvenue.

Ce n'est pas correct: tous les réseaux monoïdaux commutatifs résiduels sont des modèles de la logique linéaire. Voici un moyen simple de créer un tel réseau à partir de graphes finis. Commencez avec le set

$$M = \{(g, n) \;|\; g\mbox{ is a finite graph and }n \subseteq \mathrm{nodes}(g)\}$$

Donc , notre relation avec force sera , et l'intuition est que n est l'ensemble des noeuds « propriété » par la formule φ . Il y a une opération partielle ( ⋅ ) : M × M → M , définie par: ( g , n ) ⋅ ( g ′ , n ′ ) = { ( g , n ⊎ n ′ ) lorsque  g = $(g,n) \models \phi$$n$$\phi$$(\cdot) : M \times M \to M$

$$(g,n) \cdot (g',n') = \left\{\begin{array}{ll} (g, n \uplus n') & \mbox{when } g = g' \land n \cap n' = \emptyset \\ \mathrm{undefined} & \mbox{otherwise} \end{array}\right.$$

Cela combine deux éléments en fusionnant leurs ensembles possédés, si les graphiques sont égaux et les ensembles possédés sont disjoints.

Maintenant, nous pouvons donner un modèle de logique linéaire comme suit:

$$\begin{array}{lcl} (g,n) \models I & \iff & n = \emptyset \\ (g,n) \models \phi \otimes \psi & \iff & \exists n_1,n_2.\; n = n_1 \uplus n_2 \mbox{ and } (g,n_1) \models \phi \mbox{ and } (g,n_2) \models \psi \\ (g,n) \models \phi \multimap \psi & \iff & \forall n'.\; \mbox{if } n \cap n' = \emptyset \mbox{ and } (g,n') \models \phi \mbox{ then } (g,n \uplus n') \models \psi \\ (g, n) \models \top & \iff & \mbox{always} \\ (g,n) \models \phi \land \psi & \iff & (g,n) \models \phi \mbox{ and } (g,n) \models \psi \end{array}$$

Ce modèle est en fait une variante de ceux utilisés dans la logique de séparation, largement utilisée dans la vérification des programmes de manipulation de tas. (Si vous le souhaitez, considérez le graphique comme la structure du pointeur du tas, et l'analogie est exacte!)

Cependant, ce n'est pas vraiment la bonne façon de penser à la logique linéaire: ses véritables intuitions sont de la théorie de la preuve, et le lien avec la complexité provient de la complexité de calcul du théorème d'élimination de coupe. La théorie des modèles de la logique linéaire est l'ombre de sa théorie des preuves.

Récemment, des résultats intéressants ont été obtenus concernant la recherche d’une logique capturant PTIME. Le célèbre exemple de Cai, Fürer et Immerman montrant que LFP + C ne capture pas PTIME était cependant basé sur une classe de graphes apparemment artificielle. Bien sûr, il a été construit pour la tâche particulière de démontrer les restrictions de LFP + C. Ce n'est que récemment que Dawar a montré que le cours n'était pas du tout artificiel. Cela peut plutôt être considéré comme un exemple du fait que LFP + C ne peut pas résoudre les systèmes d'équations linéaires!

Ainsi, Dawar, Grohe, Holm et Laubner ont étendu la logique par des opérateurs d’algèbre linéaire, par exemple par un opérateur pour définir le rang d’une matrice définissable. La logique résultante, le rang LFP + peut exprimer strictement plus que LFP + C, en fait, il n’existe aucune propriété PTIME connue que le rang LFP + ne peut pas exprimer.

Même FO + rk est étonnamment puissant, il peut exprimer une fermeture transitive déterministe et symétrique. On ne sait toujours pas s'il peut exprimer la fermeture transitive générale d'un graphe.

Selon ce que vous entendez par «capture», la logique linéaire douce et le temps polynomial d'Yves Lafont peuvent présenter un intérêt. Il existe une correspondance 1-1 entre les preuves dans cette logique et les algorithmes PTIME qui prennent une chaîne en entrée et la sortie 0 ou 1.

$C^*$

Jean-Yves Girard, André Scedrov et Philip Scott, qui travaillent dans ce domaine, ont déjà travaillé sur ce problème. Logique linéaire bornée: Une approche modulaire de la calculabilité en temps polynomial. Informatique théorique, 97 (1): 1-66, 1992.

Des travaux plus récents incluent Bounded Linear Logic, revisité par Ugo Dal Lago et Martin Hofmann.