Preuves quantiques des théorèmes classiques

Je m'intéresse à des exemples de problèmes où un théorème qui n'a apparemment rien à voir avec la mécanique quantique / l'information (par exemple énonce quelque chose sur des objets purement classiques) peut néanmoins être prouvé en utilisant des outils quantiques. Une enquête Quantum Proofs for Classical Theorems (A. Drucker, R. Wolf) donne une belle liste de ces problèmes, mais il y en a sûrement beaucoup plus.

Des exemples particulièrement intéressants seraient des exemples où une preuve quantique est non seulement possible, mais aussi "plus éclairante", en analogie avec une analyse réelle et complexe, où mettre un vrai problème dans le cadre complexe le rend souvent plus naturel (par exemple, la géométrie est plus simple puisque est algébriquement fermé, etc.); en d'autres termes, des problèmes classiques pour lesquels le monde quantique est leur "habitat naturel".$\mathbb{C}$

(Je ne définis pas ici la «quanticité» dans un sens précis et on pourrait faire valoir que tous ces arguments finissent par se résumer en algèbre linéaire; eh bien, on peut également traduire n'importe quel argument en utilisant des nombres complexes pour n'utiliser que des paires de réels - mais alors quoi ?)

Il y a un article récent de Scott Aaronson qui fournit une nouvelle preuve que le permanent est # P-dur. Cette preuve est basée sur le modèle de l'informatique quantique linéaire-optique et est plus intuitive que celle de Leslie Valiant.

À mon avis, j'aime le papier suivant:

Katalin Friedl, Gabor Ivanyos, Miklos Santha. Test efficace des groupes. Dans STOC'05.

Ici, ils définissent un testeur "classique" pour les groupes abéliens. Cependant, ils commencent par donner un testeur quantique, puis ils éliminent toutes les parties quantiques.

Ce que j'aime de cet article, c'est qu'ils utilisent le testeur quantique pour gagner de l'intuition et l'utilisent pour aborder le problème. Cela peut sembler une approche plus difficile (à partir du quantique et du classique), mais les auteurs sont des chercheurs bien connus en informatique quantique. Alors peut-être que pour eux, c'est plus facile de commencer avec ça.

Je dirais que leur principale contribution technique est un testeur d'homomorphisme, qu'ils utilisent pour éliminer les parties quantiques.

Deux résultats très récents et intéressants:

• Samuel Fiorini, Serge Massar, Sebastian Pokutta, Hans Raj Tiwary et Ronald de Wolf ont prouvé qu '"il n'existe pas de programme linéaire de taille polynomiale (LP) dont le polytope associé se projette au polytope du voyageur de commerce, même si le LP n'est pas tenu d'être symétrique "(extrait du résumé).
  Ils utilisent la complexité de la communication quantique comme un outil. Voir leur article et le blog de Gil Kalai . Notez également le commentaire de Dave sous le post de Gil Kalai. Je n'ai pas encore lu le document, donc je ne peux pas me commenter où et comment les trucs quantiques sont utilisés.

• Andrew M. Childs, Shelby Kimmel et Robin Kothari ont utilisé la complexité des requêtes quantiques pour prouver les limites inférieures d'une mesure très classique, qui est le nombre de portes de formule de fonctions telles que PARITY. Voir leur papier .

Comme les permanents donnent les amplitudes de probabilité des résultats de mesure des bosons après qu'ils interfèrent dans un interféromètre linéaire, Scheel a obtenu une simple preuve "quantique" que la valeur absolue du permanent de toute matrice unitaire est 1 ( http://arxiv.org/abs / quant-ph / 0406127 ).

• voir aussi l'informatique classique embrasse les idées quantiques une sorte d'aperçu / étude semi-pop-science de ce phénomène de dichotomie classique / quantique par Wolchover écrivant pour l'institut Simons avec quelques exemples et pistes / références.

Ces dernières années, les idées quantiques ont aidé les chercheurs à prouver la sécurité de schémas de cryptage de données prometteurs appelés cryptosystèmes à base de réseau, dont certaines applications peuvent masquer les informations sensibles des utilisateurs, telles que l'ADN, même auprès des entreprises qui les traitent. Une preuve d'informatique quantique a également conduit à une formule pour la longueur minimale des codes de correction d'erreur, qui sont des garanties contre la corruption des données.

Les idées quantiques ont également inspiré un certain nombre de résultats théoriques importants, tels qu'une réfutation d'un ancien algorithme erroné qui prétendait résoudre efficacement le problème du célèbre voyageur voyageur, qui demande comment trouver l'itinéraire le plus rapide à travers plusieurs villes.

• un autre exemple récent qui est similaire à la direction de recherche des preuves naturelles de Razborov / Rudich (qui reliait les séparations de classes de complexité à la rupture des générateurs de nombres aléatoires)

Une borne inférieure quantique pour distinguer les fonctions aléatoires des permutations aléatoires Henry Yuen

Le problème de la distinction entre une fonction aléatoire et une permutation aléatoire sur un domaine de taille N est important en cryptographie théorique, où la sécurité de nombreuses primitives dépend de la dureté du problème. Nous étudions la complexité des requêtes quantiques de ce problème ...