Que sait-on des épreuves interactives multiprouveurs à messages courts?

Beigi, Shor et Watrous ont un très bon article sur la puissance des preuves interactives quantiques avec des messages courts. Ils considèrent trois variantes de «messages courts», et la seule qui m'importe est leur deuxième variante où un nombre illimité de messages peut être envoyé, mais la longueur totale du message doit être logarithmique. En particulier, ils montrent que ces systèmes de preuve interactifs ont le pouvoir expressif de BQP.

Ce que je veux savoir, c'est s'il existe des résultats analogues pour le paramètre multi-prover, pour les vérificateurs classiques ou quantiques. Existe-t-il des résultats de complexité non triviaux connus pour les preuves interactives multiprouveurs où la longueur totale de tous les messages est limitée pour être logarithmique dans la taille du problème?

Boîtier complètement classique (MIP)

Si le vérificateur est classique et qu'il n'y a aucun enchevêtrement préalable entre les prouveurs, votre classe contient BPP∪NP et est contenue dans MA .

Il est trivial que BPP soit une borne inférieure. Pour montrer que la classe contient NP, considérons le système d'épreuve interactif à un seul étalon à deux épreuves pour la colorabilité 3 avec une complétude parfaite et une erreur de solidité 1−1 / poly. Si vous souhaitez réduire l'erreur de solidité à une constante, combinez-la avec le théorème PCP.

En ce qui concerne la limite supérieure, l'instruction la plus forte suivante est valable: MIP avec la restriction que la longueur totale du message du vérificateur à chaque prouveur est O (log n ) est égale à MA. En effet, une stratégie de chaque prouveur peut être décrite par une chaîne de longueur polynomiale.

Fait intéressant, une autre limite supérieure existe lorsque le système est parfaitement complet. A savoir, les systèmes de preuve interactifs multiprouveurs avec une parfaite complétude avec une communication totale à O (log n ) bits reconnaissent au plus P ^{NP [log]} , et ceci est valable même si nous autorisons une erreur de solidité illimitée. Pour le prouver dans le cas de deux prouveurs, soit x _s la concaténation de toutes les réponses données par le premier prouveur lorsque la concaténation de toutes les questions au premier prouveur est s , et définissons y _{t de} façon analogue pour le deuxième prouveur. Pour être acceptées par le vérificateur avec certitude, ces variables x _s et y _tdoit satisfaire certaines contraintes, et notez qu'il s'agit d'un 2CSP. Il existe au plus poly ( n ) choix pour les tuples ( s , t , x _s , y _t ), et pour chaque choix, nous pouvons utiliser l'oracle NP pour tester si le vérificateur rejette ce tuple. Par conséquent, avec l'oracle NP, nous pouvons lister toutes les contraintes sur les variables x _s et y _ten temps polynomial. Enfin, nous utilisons à nouveau l'oracle NP pour tester s'il existe une affectation à ces variables qui satisfait toutes les contraintes. Bien que cet algorithme utilise l'oracle NP de façon polynomiale plusieurs fois, toutes les requêtes, à l'exception de la dernière, peuvent être effectuées en parallèle, et donc peuvent être converties en un algorithme P ^{NP [log]} . Le cas de plus de deux prouveurs est analogue.

Cette limite supérieure implique que bien que chaque système MA puisse être transformé en un système avec une parfaite complétude, nous ne pouvons pas espérer un système de preuve interactif multi-prouveurs avec une parfaite complétude avec une communication O (log n ) bits à moins que MA⊆P ^{NP [log]} . Je ne sais pas à quel point l'inclusion MA⊆P ^{NP [log]} est peu probable , mais je note simplement que Complexity Zoology déclare qu'il existe un oracle par rapport auquel BPP⊈ P ^NP (et donc clairement MA⊈P ^{NP [log]} ).

(Dans le cas d'un seul prouveur, le théorème 2 de Goldreich et Håstad [GH98] implique que IP avec la longueur totale du message O (log n ) bits est égal à BPP.)

Ajouté . Une caractérisation nécessaire et suffisante est la suivante.

Pour expliquer cette caractérisation, nous avons besoin d'une variante de la notion de réductibilité de Karp (réductibilité multiple en temps polynomial). Pour deux problèmes de décision A et B , disons que A est FP ^{BPP -} réductible à B (je sais, c'est un nom horrible) quand il y a une machine de Turing déterministe à temps polynomial M avec accès à l'oracle BPP qui mappe oui - instances à oui-instances et non-instances à non-instances, où nous autorisons l'accès oracle "non intelligent" (ce qui signifie que Mpeut faire une requête à l'oracle BPP sur une instance qui ne remplit pas la promesse du problème BPP, auquel cas alors oracle retourne arbitrairement oui ou non). On peut alors prouver que les conditions suivantes sur un problème A sont équivalentes.

(i) A possède un système de preuve interactif multiprouveur avec communication O (log n ) bits et erreur bornée bilatérale.
(ii) A possède un système de preuve interactif à un tour à deux prouveurs avec une communication à O (log n ) bits, une erreur d'exhaustivité exponentiellement petite et une erreur de solidité constante.
(iii) A est FP ^{BPP -} réductible à un problème dans NP.

(Idée de preuve: l'implication (ii) ⇒ (i) est triviale. L'implication (i) ⇒ (iii) peut être obtenue de la même manière que la preuve ci-dessus dans le cas d'une erreur unilatérale. Implication (iii) ⇒ (ii ) découle du théorème du PCP car la classe de problèmes satisfaisant à la condition (ii) est fermée sous FP ^BPP- réductibilité.)

Vérificateur classique avec étalons enchevêtrés (MIP *)

Considérons ensuite le cas d'un vérificateur classique et de prouveurs enchevêtrés. Dans ce cas, la classe avec erreur bornée contient à nouveau BPP∪NP.

Kempe, Kobayashi, Matsumoto, Toner et Vidick [KKMTV11] montre que chaque problème dans NP a un système de preuve interactif à un tour à trois épreuves avec une complétude parfaite et une erreur de solidité 1−1 / poly où la longueur totale des messages est O ( log n ) bits, et la solidité tient contre les prouveurs enchevêtrés. Par conséquent, MIP * avec la longueur totale du message O (log n ) bits et l'erreur bornée contient NP. Un résultat ultérieur d'Ito, Kobayashi et Matsumoto [IKM09] (plug sans vergogne) réduit le nombre de prouveurs de trois à deux. Le cas de la solidité constante est ouvert au sommet de ma connaissance.

On ne sait pas si MIP * avec la longueur totale du message O (log n ) bits est contenu dans la classe R des problèmes décidables ou non, et cette question équivaut à savoir si MIP * ⊆R (un autre problème ouvert) par l'argument de remplissage.

Les références

[GH98] Oded Goldreich et Johan Håstad. Sur la complexité des preuves interactives à communication bornée. Lettres de traitement de l'information , 67 (4): 205-214, août 1998. http://dx.doi.org/10.1016/S0020-0190%2898%2900116-1

[IKM09] Tsuyoshi Ito, Hirotada Kobayashi et Keiji Matsumoto. Oracularisation et preuves interactives à un seul tour à deux prouveurs contre des stratégies non locales. Actes: Vingt-quatrième conférence annuelle de l'IEEE sur la complexité informatique (CCC 2009) , 217-228, juillet 2009. http://dx.doi.org/10.1109/CCC.2009.22

[KKMTV11] Julia Kempe, Hirotada Kobayashi, Keiji Matsumoto, Ben Toner et Thomas Vidick. Les jeux intriqués sont difficiles à estimer. SIAM Journal on Computing , 40 (3): 848–877, 2011. http://dx.doi.org/10.1137/090751293