Quel est l'intérêt de la conversion

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Je pense que je ne le comprends pas, mais -conversion me semble être une -conversion qui ne fait rien, un cas particulier de -conversion où le résultat n'est que le terme dans l'abstraction lambda car il n'y a rien à faire, une sorte de conversion inutile. $\eta$ $\beta$ $\beta$ $\beta$

Alors peut-être que -conversion est quelque chose de vraiment profond et différent de cela, mais si c'est le cas, je ne comprends pas et j'espère que vous pourrez m'aider. $\eta$

(Merci et désolé, je sais que cela fait partie des bases du calcul lambda)

lo.logic lambda-calculus extensionality

— Trylks
source

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Mise à jour [2011-09-20]: J'ai développé le paragraphe sur l' expansion $\eta$ et l'extensionnalité. Merci à Anton Salikhmetov d'avoir signalé une bonne référence.

$\eta$ -conversion $(\lambda x . f x) = f$ est un cas spécial deconversion $\beta$ -uniquementdans le cas spécial lorsque $f$ est lui-même une abstraction, par exemple, si $f = \lambda y . y y$ alors

(λ x . f x) = (λ x . (λ y . y y) x) =_{β} (λ x . x x) =_{α} f .

$(\lambda x . f x) = (\lambda x . (\lambda y . y y) x) =_\beta (\lambda x . x x) =_\alpha f.$ Mais que faire si

f

$f$ est une variable ou une application qui ne se réduit pas à une abstraction?

D'une certaine manière, la règle $\eta$ est comme un type particulier d'extensionnalité, mais nous devons faire un peu attention à la façon dont cela est énoncé. Nous pouvons affirmer l'extensionnalité comme:

pour tous les $\lambda$ -terms $M$ et $N$ , si $M x = N x$ alors $M = N$ , ou
pour tout si puis . $f, g$ $\forall x . f x = g x$ $f = g$

Le premier est une méta-déclaration sur les termes du -calculus. En lui, apparaît comme une variable formelle, c'est-à-dire qu'il fait partie du -calculus. On peut le prouver à partir des règles , voir par exemple le théorème 2.1.29 dans "Lambda Calculus: its Syntax and Semantics" de Barendregt (1985). Il peut être compris comme un énoncé de toutes les fonctions définissables , c'est-à-dire celles qui sont des dénotations de termes . $\lambda$ $x$ $\lambda$ $\beta\eta$ $\lambda$

La deuxième affirmation est la façon dont les mathématiciens comprennent généralement les énoncés mathématiques. La théorie du -calcul décrit un certain type de structures, appelons-les " -models ". Un modèle peut être indénombrable, il n'y a donc aucune garantie que chaque élément de celui-ci correspond à un terme (tout comme il y a plus de nombres réels que d'expressions décrivant des réels). L'extensionnalité dit alors: si nous prenons deux choses et dans un modèle , si pour tout dans le modèle, alors $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ $f$ $g$ $\lambda$ $f x = g x$ $x$ $f = g$ . Or, même si le modèle satisfait la règle , il n'a pas besoin de satisfaire l'extensionnalité dans ce sens. (Référence nécessaire ici, et je pense que nous devons faire attention à la façon dont l'égalité est interprétée.) $\eta$

Il existe plusieurs façons de motiver conversions - et . Je choisirai au hasard la catégorie théorique, déguisée en -calculus, et quelqu'un d'autre peut expliquer d'autres raisons. $\beta$ $\eta$ $\lambda$

Considérons le -calculus typé (car il est moins déroutant, mais plus ou moins le même raisonnement fonctionne pour le -calculus non typé ). L' une des lois fondamentales qui devraient est la loi détient exponentielle (J'utilise les notations et manière interchangeable, en sélectionnant celle qui semble meilleure.) Que font les isomorphismes et $\lambda$ $\lambda$

C^{A \times B} ≅ (C^{B})^{A} .

$C^{A \times B} \cong (C^B)^A.$

A \to B

$A \to B$

B^{A}

$B^A$

i : C^{A \times B} \to (C^{B})^{A}

$i : C^{A \times B} \to (C^B)^A$

ressemble à, écrit en

-calculus? On peut supposer qu'ils seraient

et

j : (C^{B})^{A} \to C^{A \times B}

$j : (C^B)^A \to C^{A \times B}$

λ

$\lambda$

je = λ F : C^{UNE \times B} . λ une : UNE . λ b : B . F ⟨ une, b ⟩

$i = \lambda f : C^{A \times B} . \lambda a : A . \lambda b : B . f \langle a, b \rangle$

Un calculcourte avec un couple de

-réductions (y compris le

-réductions

et

pourproduits) nous apprend que, pour chaque

nous avons

j = λ g : (C^{B})^{UNE} . λ p : UNE \times B . g (π_{1} p) (π_{2} p) .

$j = \lambda g : (C^B)^A . \lambda p : A \times B . g (\pi_1 p) (\pi_2 p).$

β

$\beta$

β

$\beta$

π_{1} ⟨ a, b ⟩ = a

$\pi_1 \langle a, b \rangle = a$

π_{2} ⟨ a, b ⟩ = b

$\pi_2 \langle a, b \rangle = b$

g : (C^{B})^{A}

$g : (C^B)^A$

Puisque

et

sont inversesdeautre, nous nous attendons

, mais pour prouver effectivement cenous devons utiliser

-réduction deux fois:

je (j g) = λ une : UNE . λ b : B . g une b .

$i (j g) = \lambda a : A . \lambda b : B . g a b.$

i

$i$

j

$j$

i (j g) = g

$i (j g) = g$

η

$\eta$

C'est donc une des raisons pour avoir desréductions

. Exercice: quellerègle

est nécessaire pour montrer que

?

i (j g) = (λ a : A . λ b : B . g a b) =_{η} (λ a : A . g a) =_{η} g .

$i(j g) = (\lambda a : A . \lambda b : B . g a b) =_\eta (\lambda a : A . g a) =_\eta g.$

η

$\eta$

η

$\eta$

j (i f) = f

$j (i f) = f$

— Andrej Bauer
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β

$\beta$

β η

$\beta\eta$

β η

$\beta\eta$

η

$\eta$

β

$\beta$

η

$\eta$

1

=

$=$

=_{β}

$=_{\beta}$

M x = N x

$Mx=Nx$

M = N

$M=N$

M = N

$M=N$

M =_{β η} N

$M=_{\beta\eta}N$

η

$\eta$

M

$M$

N

$N$

1

@AndrejBauer Je suis d'accord que la règle η n'est pas une extensionnalité complète, mais ne pensez-vous pas que c'est encore une forme d'extensionnalité limitée, c'est-à-dire qu'elle représente une classe de cas évidents d'extensionnalité. La question initiale est à la recherche de motivations et de concepts, et dans ce cas, je pense que la réflexion en termes d'extensionnalité est utile (avec un certain soin bien sûr à ne pas aller trop loin).

— Marc Hamann

9

Afin de répondre à cette question, nous pouvons fournir la citation suivante de la monographie correspondante «Lambda Calculus. Sa syntaxe et sa sémantique »(Barendregt, 1981):

$\beta\eta$ $\lambda$ $\lambda + \text{ext}$ $\text{ext}$ $M x = N x \Rightarrow M = N$

$M =_{\beta\eta} N \Leftrightarrow \lambda\eta \vdash M = N \Leftrightarrow \lambda + \text{ext} \vdash M = N$

[Sa preuve est basée sur le théorème suivant.]

$\lambda + \text{ext}$ $\lambda\eta$ $(\text{ext}) \Rightarrow (\eta)$

$\lambda\eta$

$M$ $N$ $\lambda\eta \vdash M = N$ $\lambda\eta + M = N$

Les théories HP-complètes [d'après Hilbert-Post] correspondent aux théories cohérentes maximales en théorie des modèles pour la logique du premier ordre.

7

$\lambda$ $\beta$ $\eta$

$\lambda x y.x$ $\lambda x y.y$ $\beta\eta$ $\beta\eta$
$\iota$
1. $u\ =_\iota\ v \Rightarrow t\ u\ =_\iota\ t\ v$
2. $\beta\eta$ $t$ $u$ $t=_\iota u$ $t\neq_{\beta\eta}u$

$t$ $u$ $t=_{\beta\eta\iota}u$

Ceci est une conséquence du théorème de Böhm.

— cody
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6

$\eta$

$=_{\beta \eta}$ $\rightarrow_{\beta\eta}$ $M=N$ $\lambda x.M = \lambda x.N$ $=_{\beta}$

$=_{\beta}$ $=_{\beta\eta}$ $\lambda x. Mx = M$ $Mx=Nx$ $M=N$

— Marcin Kotowski
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η

$\eta$

Voir le théorème 2.1.29 dans la monographie de Barendregt (Lambda Calculus and its Semantics, 1985).

2

ξ

$\xi$

Et je ne suis pas trop heureux à mon tour que le bonheur et les réponses de type «entendu parler» attirent plus l'attention que les citations pertinentes directes avec les références correspondantes.

ξ

$\xi$

ξ

$\xi$

α

$\alpha$

β

$\beta$