Il existe un certain nombre de problèmes dans la théorie de la représentation combinatoire et la géométrie algébrique pour lesquels aucune formule positive n'est connue. Il y a plusieurs exemples auxquels je pense, mais permettez-moi de prendre le calcul des coefficients Kronecker comme exemple. Habituellement, la notion de "formule positive" n'est pas définie avec précision en combinatoire, mais elle signifie à peu près "une description comme la cardinalité d'un ensemble raisonnablement explicite". Récemment, j'ai parlé à Jonah Blasiak, et il m'a convaincu que la bonne définition de "formule positive" est #P . Je vais supposer que, sur ce site, je n'ai pas besoin de définir #P.
Buergisser et Ikenmeyer montrent que les coefficients de Kronecker sont durs #P. (Ils sont également toujours positifs, car ce sont des multiplicités de produits tensoriels.) Mais je suis raisonnablement sûr que personne ne connaît un moyen de les calculer qui les fait même entrer dans #P.
Supposons donc que je devais réellement essayer de prouver que les coefficients de Kronecker ne sont pas dans #P. Je suppose que ce que je ferais serait de supposer une certaine conjecture théorique de complexité, puis de réduire le produit Kronecker à un autre problème connu pour être complet pour une classe plus grande que #P.
Quelle conjecture pourrais-je supposer et à quel problème pourrais-je essayer de me réduire?
AJOUTÉ: Comme cela a été souligné dans les commentaires, Buergisser et Ikenmeyer montrent que les coefficients de Kronecker sont dans Gap-P, qui est assez proche de #P. Il semble donc que les questions que je devrais poser sont (1) Quels sont les problèmes de Gap-P-complet que je pourrais vraisemblablement réduire et (2) quelles sont les perspectives de montrer que Gap-P n'est pas #P? Je suppose que (2) devrait se diviser en deux parties (2a) les experts pensent-ils que ces classes sont différentes? et (2b) existe-t-il des stratégies probables pour le prouver?
J'espère que cette retouche de la question ne sera pas désapprouvée.