Prétraitement optimal pour certains types de requêtes

Supposons que nous ayons un semi-groupe avec les éléments . Notre objectif est de calculer les produits .S = { s 1 , s 2 , … , s n } s i ∘ s i + 1 ∘ ⋯ ∘ s $(S,\circ)$$S=\lbrace s_1,s_2,\dots,s_n\rbrace$$s_i\circ s_{i+1}\circ \cdots\circ s_j$

Dans leur article "Prétraitement optimal pour répondre aux requêtes de produits en ligne", Alon et Schieber prouvent que nous pouvons répondre à chacune de ces requêtes en au plus étapes (où est la fonction Ackermann inverse) en utilisant uniquement quantité linéaire de prétraitement.$O(\alpha(n))$$\alpha$

Si l'on souhaite que chaque requête puisse recevoir une réponse en étapes , peut-on encore le faire avec un prétraitement linéaire uniquement? O ( log ( j - i ) $s_i\circ s_{i+1}\circ \cdots\circ s_j$$O(\log(j-i))$

(Cette question est inspirée par cette question récente de Brendan McKay à mathoverflow.)

Construisez un arbre binaire équilibré ordonné avec dans les feuilles (dans l'ordre). Dans chaque nœud interne stocke le produit des feuilles du sous-arbre enraciné en . Ce prétraitement s'exécute évidemment dans le temps et l'espace O .$s_1,\dots,s_n$$v$$v$$(n)$

Maintenant, pour calculer un produit (où ) parcourez l'arbre de jusqu'à l'ancêtre le moins commun (LCA) de et . Récupérez les produits stockés dans chaque enfant droit suspendu au chemin, à l'exception de l'enfant droit de l'ACV. En d'autres termes, lorsque vous montez de à son parent , si est un enfant gauche de , prenez le produit stocké dans l' enfant droit de . De même, montez de à l'ACV et récupérez les produits stockés chez les enfants de gauche suspendus à ce chemin. Multipliez tous ces produits, avec et$s_i\circ\ldots\circ s_j$$i<j$$i$$i$$j$$u$$v$$u$$v$$v$$j$$s_i$$s_j$ dans l'ordre.