Variantes de galeries d'art avec visibilité par paires?

Le problème des galeries d'art traditionnelles met en place une région et des gardes avec une certaine notion de visibilité, et demande le nombre minimum de gardes à placer pour voir toute la région.

Quelqu'un a-t-il déjà examiné des variantes de galeries d'art où la zone de visibilité est plutôt définie par une paire de gardes. Par exemple, une formulation pourrait être qu'un point est couvert s'il y a une paire de gardes dont le disque de délimitation minimum le couvre?

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— Suresh Venkat
source

Quis custodiet ipsos custodes?

— Artem Kaznatcheev

Eh bien, pour répondre à la question de @ Artem, il y a une notion de gardes connectés , qui a deux variantes. Laissez le graphique de visibilité être défini avec un sommet pour chaque garde et une arête entre deux sommets si les gardes peuvent se voir. Si le graphique de visibilité est connecté, tous les gardes sont gardés (parfois appelé "ensemble de gardes gardés"). Une condition plus forte est que le graphique de visibilité ait un seul composant connecté. Ensuite, vous avez un ensemble de gardes connectés. Et oui, il y a pas mal de travail ici. J'ai même blogué sur un article.

— Aaron Sterling

Oups, ce qui précède devrait se lire "si le graphique de visibilité n'a pas de sommets isolés, tous les gardes sont gardés ..."

— Aaron Sterling

"qui garde les gardes"? mon latin n'est qu'un cochon :)

— Suresh Venkat

Notez que dans ma formulation, je n'exige pas que le graphe de visibilité induite soit connecté. Bien que cela ne soit pas un problème avec les rectangles à axe parallèle, cela pourrait en fait être un problème avec les régions qui ne sont pas si agréables (comme les régions elliptiques). Mais le pointeur des gardes connectés est bon: je pense que probablement certaines variantes de mon problème peuvent être traitées de cette façon.

— Suresh Venkat

Réponses:

Je ne suis au courant d'aucun de ces travaux. Cependant, je m'attendrais à ce qu'un tel problème soit NP-complet et, pour les polygones avec des trous, serait aussi difficile à estimer que Set Cover. Le problème relativement simple de la protection des sommets / sommets, dans lequel les gardes ne peuvent se coucher que sur des sommets et seuls les sommets doivent être protégés, est aussi difficile ( Eidenbenz, Stamm et Widmayer (2001) ).

Pour les polygones simples, je m'attends à ce qu'un tel problème soit:

NP-complet
APX-hard
$O(\log(\rm{opt}))$

Le problème de garde sommet / sommet est difficile à résoudre pour les polygones simples ( Eidenbenz (1998) ).

$\varepsilon$ $O(\log(\rm{opt}))$

J'ai réfléchi un peu à ce problème pour ma thèse, mais je suis arrivé à l'idée qu'il n'y avait pas de variantes particulièrement intéressantes qui ne semblaient pas se réduire assez étroitement à un problème connu impliquant la surveillance individuelle.

— James King
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Assez tard pour cette question (désolé!). Il y a au moins un peu de travail.

(1) Il semble s'agir d'un document de recherche de premier cycle (Swarthmore): «Optimal Double Coverage In The Art Gallery», Scott Dalane, Andrew Frampton, 2008, lien PDF . De leur conclusion:

$\lfloor 2n/3 \rfloor$ $n^2$

$\lfloor 2n/3 \rfloor$

— Joseph O'Rourke
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J'y ai donc pensé. Je pense que la principale différence entre la double couverture et mon problème est qu'il y a ce problème de «connectivité». En d'autres termes, aucune des zones de visibilité des deux gardes n'est activée à moins qu'elles ne soient «visibles» l'une pour l'autre. Il est facile de construire des exemples où vous pouvez doubler une région avec des gardes qui ne se voient pas. Maintenant, le problème des gardes connectés a également été examiné, mais dans un contexte différent qui ne s'applique pas encore ici - spécifiquement là, vous avez besoin que le graphique de visibilité des gardes soit connecté, et je n'en ai pas besoin.

— Suresh Venkat

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$p$

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$p$

Pas assez. ce n'est pas de la pure visibilité. Une paire de gardes définit une "région de visibilité" et un point est couvert s'il se trouve dans la région de visibilité des gardes. Il est en fait possible pour les gardes qui ne peuvent pas se voir OU le point dans le sens traditionnel de la «ligne de vue» de «couvrir» le point.

— Suresh Venkat

Merci de clarifier. Ce modèle semble différent de tout ce que je sais.

— Joseph O'Rourke