Les problèmes PRIMES, FACTORING sont-ils connus pour être P-dur?

Laissez PRIMES (aka test de primalité ) être le problème:

Étant donné un nombre naturel , est-il un nombre premier? $n$ $n$

Soit FACTORING le problème:

Soit les nombres naturels , avec , a-t-il un facteur avec ? $n$ $m$ $1 \leq m \leq n$ $n$ $d$ $1 < d < m$

Sait-on si PRIMES est P-hard? Qu'en est-il de FACTORING? Quelles sont les limites inférieures les plus connues pour ces problèmes?

— km
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Non, IIRC est ouvert si Primes est P-hard. Je pense que la même chose est vraie à propos de FACTORING.

— Kaveh

J'imagine qu'une autre question pourrait être: Y at-il des conséquences pour PRIMES ou FACTORING d'être P-hard?

— Suresh Venkat

@Suresh: c'est une bonne question. Pourriez-vous l'afficher séparément?

— András Salamon

En fait, le factoring a déjà été demandé: cstheory.stackexchange.com/questions/5096/…

— Suresh Venkat

@Artem, je suis d'accord avec András, une question sur les conséquences de la dureté P des Primes serait intéressante. J'ai également modifié la question en ajoutant une question sur les Lowerbounds les plus connus.

— Kaveh

Réponses:

On sait que PRIMES est difficile pour . Voir mon article avec Saks et Shparlinski, " A Lower Bound for Primality " dans JCSS 62 (2001). Aucune amélioration sur ce front depuis. $\mathsf{TC^0}$

— Eric Allender
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savez-vous si ce résultat de dureté est également valable si nous souhaitons seulement que quelques aléatoires de tous les entiers à bits soient pris en compte? Après tout cela pourrait encore être en non?

\frac{1}{n}

$\frac1 n$

n

$n$

A C C^{0}

$ACC^0$

— T ....

Factorisation peut être obtenue en utilisant un polylog circuit quantique profondeur, et ZPP pré- et post-traitement; voir ce papier . Si elle était P-dur, tout algorithme P pourrait être fait avec polylog circuit quantique et la profondeur de la même avant et étapes de post-traitement. Je crois que ces étapes sont une exponentiation modulaire et des fractions continues, qui me semblent peu susceptibles d’être assez puissantes pour résoudre les problèmes de P-complet, même avec l’ajout d’un circuit quantique de profondeur de polylog . $n$ $n$ $n$

— Peter Shor
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