Sensibilité des propriétés du graphique

Dans [1], Turan montre que la sensibilité (appelée "complexité critique" dans l'article) d'une propriété graphique est strictement supérieure à oùest le nombre de sommets du graphe. Il continue en conjecturant que toute propriété de graphe non triviale a une sensibilité. Il mentionne que cela a été vérifié pour. Des progrès ont-ils été réalisés sur cette conjecture? $\lfloor {1\over 4} m \rfloor$ $m$ $\geq m-1$ $m \leq 5$

Contexte

Soit une chaîne binaire dans . Définissez pour comme la chaîne obtenue à partir de en inversant le bit . Pour une fonction booléenne \ à , définissez la sensibilité de à comme $x$ $\{0,1\}^n$ $x^i$ $1 \leq i \leq n$ $x$ $i^{th}$ $f: \{0,1\}^n$ $\{0,1\}$ $f$ $x$ . Enfin, définissez lasensibilitéde comme $s(f;x) := |\{i : f(x) \neq f(x^i) \}|$ $f$ . $s(f) := \mbox{max}_x\; s(f;x)$

Une propriété graphique est une collection Graphes telle que si et est isomorphe à alors . On peut penser à une propriété de graphe comme l'union des propriétés où est le sous-ensemble de composé de graphes à sommets. De plus, nous pouvons concevoir une propriété de graphe comme une fonction booléenne sur où $\mathcal P$ $G \in \mathcal P$ $G'$ $G$ $G' \in \mathcal P$ $\mathcal P$ $\mathcal P_m$ $\mathcal P_m$ $\mathcal P$ $m$ $\mathcal P_m$ $\{0,1\}^n$ . On peut encoder un graphe sursommets dans un vecteur binaire de longueur; chaque entrée dans le vecteur correspond à une paire de sommets et l'entrée estsi ce bord est présent dans le graphique. Ainsi, la sensibilité d'une propriété graphique est sa sensibilitétantfonction booléenne. $n = {m \choose 2}$ $m$ $n$ $1$

Turan, G., La complexité critique des propriétés des graphes, Information Processing Letters 18 (1984), 151-153.

graph-theory property-testing

— mhum
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avez-vous vu l'enquête 2002 de Buhrman et de Wolf ( homepages.cwi.nl/~rdewolf/publ/qc/dectree.ps )? il ne répond pas directement à votre question, mais contient plus d'informations sur la sensibilité des fonctions en général, ainsi que sur les propriétés des graphes monotones.

— Suresh Venkat

les besoins d'encodage

bits

((\binom{m}{2}) + 1) \log m

$(\binom{m}{2}+1)\log m$

— Diego de Estrada

L'enquête que Suresh a pointée fait apparaître un article de Wegener [1] qui confirme partiellement la conjecture. Il est valable pour toutes les propriétés de graphe monotone et l'inégalité est étroite (considérons la propriété "N'a pas de sommets isolés"). Tout résultat plus récent serait également apprécié.

Wegener, L. La complexité critique de toutes les fonctions booléennes (monotones) et les propriétés des graphes monotones. Information and Control , 67: 212-222, 1985.

— mhum
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