Complexité d'une connectivité st unique

Je voudrais savoir si le problème suivant peut être résolu dans (espace de log non déterministe):$\mathsf{NL}$

Étant donné un graphe orienté avec deux sommets distincts s et t , existe- t -il un chemin unique de s à t dans G ?$G$$s$$t$$s$$t$$G$

Je pense qu'il est susceptible d'être dans car nous pouvons décider à la fois s'il y a un chemin s - t et s'il n'y en a pas. Pourtant, compter le nombre de ces chemins est ♯ P -hard (Valiant, 1979).$\mathsf{NL}$$s$$t$$\mathsf{\sharp P}$

Alors mes questions: avez-vous des références à ce sujet? Est-il évident que c'est en ? Ou que ce n'est pas en N L ?$\mathsf{NL}$$\mathsf{NL}$

Il semble que votre problème est en . Voici un algorithme.$NL$

Premièrement, devinez de façon non déterministe un chemin de à t . Si vous devinez incorrectement, rejetez . Appelez cet algorithme A .$s$$t$$A$

Considérons l'algorithme non déterministe , qui détermine s'il y a au moins deux chemins. Étant donné un graphique et s , t , pour toutes les paires d'arêtes distinctes e , f , devinez un chemin de s à t qui inclut e mais pas f , puis devinez un chemin de s à t qui comprend f mais pas e . Si les suppositions sont correctes, acceptez . Si aucune acceptation ne se produit pour tous les choix de e et f , rejetez . Remarque $B$$s,t$$e,f$$s$$t$$e$$f$$s$$t$$f$$e$$e$$f$$B$ est implémentable dans un espace de log non déterministe.

Maintenant, l'ensemble est l'ensemble des graphes s - t avec au moins deux chemins de s à t . Parce que N L = c o N L , le complément de B est également dans N L , c'est-à-dire que nous pouvons déterminer si s et t ont moins de deux chemins, dans un espace log non déterministe.$L(B)$$s$$t$$s$$t$$NL = coNL$$B$$NL$$s$$t$

L'algorithme final est: "Exécuter Si A accepte, alors exécutez le complément de B et sortez sa réponse."$A$$A$$B$

Je ne connais pas de référence.

MISE À JOUR: Si vous voulez vraiment une référence, consultez le premier paragraphe de la section 3 de ce document . Mais ce n'est probablement qu'une des nombreuses références qui citent cette conséquence. Il serait plus raisonnable d'appeler le résultat «folklore» plutôt que de citer un article qui arrive à le mentionner.

MISE À JOUR 2: Supposons que vous souhaitiez déterminer s'il existe un chemin simple unique. Dans ce cas, l'algorithme n'a pas à changer: s'il y a un chemin, alors il y a un chemin simple. Je crois que la modification suivante fonctionnera pour l' algorithme B .$A$$B$

Nous voulons réécrire l'algorithme pour qu'il accepte s'il y a au moins deux chemins simples.$B$

$P$$s$$t$$e$$P$$s$$t$$e$$P$$P$$P$. (Cet algorithme est utilisé pour le problème du "deuxième chemin le plus court".)

$NL$$NL$$e$$P$$e$$P$$s$$t$$e$

$NL$$i=1,\ldots,n$$i$$s$$t$$NL=coNL$

Voici un croquis de l'oracle du chemin.

$k$$s$$t$$k=1,\ldots,n$$NL=coNL$

$u:=s$$x:=1$$j:=k$

$v$$u$

$v$$t$$j-1$$NL=coNL$$s$$t$$j-1$

S'il n'y a pas de chemin, passez au prochain voisin. Si vous avez épuisé tous les voisins, refusez .

$x=i$$(u,v)$$i$$s$$t$$x$$j$$u := v$$v \neq t$

$x < i$$t$$i$$i$

$i$$i$$P$$s$$t$