Une extension de Chernoff lié

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Je cherche une référence (pas une preuve, que je peux faire) à l'extension suivante de Chernoff.

Laissez sont des variables aléatoires booléennes, pas nécessairement indépendantes . Au lieu de cela, il est garanti que pour chaque et chaque événement qui ne dépend que de . $X_1,..,X_n$ $Pr(X_i=1|C)<p$ $i$ $C$ $\{X_j|j\neq i\}$

Naturellement, je veux une borne supérieure sur . $\Pr\left(\sum_{i\in[n]}X_i>(1+\lambda)np\right)$

Merci d'avance!

reference-request pr.probability chernoff-bound

— curieuse
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Ce que vous voulez, c'est la borne de Chernoff généralisée, qui ne suppose que pour tout sous-ensemble S d'indices variables. Cette dernière découle de votre hypothèse, car pour , $P(\bigwedge_{i\in S} X_{i}) \leq p^{|S|}$ $S=\{i_1,\ldots,i_{|S|}\}$ Impagliazzo et Kabanets ont récemment donné une preuve alternative de la liaison de Chernoff, y compris celle généralisée. Dans leur article, vous pouvez trouver toutes les références appropriées aux travaux antérieurs:

P (\underset{i \in S}{⋀} X_{i}) = P (X_{i_{1}} = 1) P (X_{i_{2}} = 1 | X_{i_{1}} = 1) \dots P (X_{i_{| S |}} = 1 | X_{i_{1}}, . . ., X_{i_{| S | - 1}} = 1) \leq p^{| S |}

$P(\bigwedge_{i\in S} X_{i}) = P(X_{i_1} = 1)P(X_{i_2}=1|X_{i_1}=1)\cdots P(X_{i_{|S|}}=1|X_{i_1},...,X_{i_{|S|-1}}=1)\leq p^{|S|}$ http://www.cs.sfu.ca/~kabanets/papers/RANDOM2010.pdf

— Dana Moshkovitz
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Merci pour la clarification! En fait, leur état est impliqué à la fois par ce que j'ai et par des corrélations négatives. Donc, c'est en effet qualitativement plus fort (j'ai en quelque sorte raté ce point quand j'ai entendu parler de Valentin). Maintenant, la preuve de ce dont j'ai besoin devient si courte, que je marque volontiers ma question comme répondue, merci beaucoup !!

— curieux

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Dans votre cas, vous pouvez simplement créer une sous-martingale à partir de vos variables et utiliser l'inégalité d'Azuma classique au même effet. Pour que cela fonctionne, il suffit que

qui est impliqué par votre hypothèse.

P r [X_{i} = 1 | X_{1}, \dots, X_{i - 1}] < p

$Pr[X_i=1|X_1, \ldots, X_{i-1}] < p$

— MCH

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Les éléments les plus proches dont je suis conscient dans la littérature sont les extensions des limites de Chernoff à des variables aléatoires corrélées négativement, par exemple voir ceci ou cela . Formellement, votre condition pourrait être satisfaite sans la corrélation négative, mais l'idée est similaire.

Parce que votre généralisation n'est pas difficile à prouver, il se peut que personne n'ait pris la peine de l'écrire.

— Lev Reyzin
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Vous avez raison, c'était aussi le plus proche que j'ai trouvé (dans "Concentration ... pour l'analyse des ... algorithmes"). Le fait est que mon manuscrit devient trop long, j'aimerais éviter encore un autre spin-off, si possible. Sinon, je n'aurai pas le choix ...

— curieux

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— voici à

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Hé, les gars, cela a été prouvé avant, et j'ai donné une référence dans ma réponse (où vous pouvez également trouver toutes les autres références pertinentes).

— Dana Moshkovitz

Oups - génial. Je n'ai pas remarqué ta réponse!

— Lev Reyzin

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Une référence alternative pourrait être le lemme 1.19 dans B. Doerr, Analyse de l'heuristique de recherche aléatoire: outils de la théorie des probabilités, Théorie de l'heuristique de recherche aléatoire (A. Auger et B. Doerr, éd.), World Scientific Publishing, 2011, pp. 1- 20.

$X_i=1$ $p_i$ $X_1, \dots, X_{i-1}$ $X_1, \ldots, X_n$ $Y_1, \ldots, Y_n$ $p_1, \ldots, p_n$ , respectivement. La preuve est élémentaire et le résultat est naturel, donc je suppose que personne n'a ressenti le besoin de l'écrire.

— Benjamin Doerr
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