Transition de promenades aléatoires quantiques à classiques sur la ligne

Version rapide

Existe-t-il des modèles de décohérence pour la marche quantique sur la ligne de sorte que nous pouvons régler la marche pour qu'elle se répande en pour tout ?1 / deux ≤ k ≤ $\Theta(t^k)$$1/2 \leq k \leq 1$

Motivation

Les marches aléatoires classiques sont utiles dans la conception d'algorithmes, et les marches aléatoires quantiques se sont révélées utiles pour créer un certain nombre d'algorithmes quantiques sympas (parfois avec des accélérations exponentielles prouvables ). Ainsi, il est important de comprendre la différence entre les marches aléatoires quantiques et classiques. Parfois, la façon la plus simple de le faire est d'envisager des modèles de jouets, tels que des promenades sur la ligne.

Il y a aussi une motivation physique: il est intéressant de savoir comment la mécanique quantique s'adapte à la mécanique classique. Mais ce n'est pas très pertinent pour la théorie.

Ma motivation personnelle est complètement orthogonale: j'essaie de faire correspondre certaines données expérimentales avec un modèle qui passe en douceur du quantique au classique et est relativement intuitif.

Contexte

Lorsque l'on considère les marches quantiques et classiques sur la ligne entière, une différence clé est que l'écart-type (de la distribution de position) de la marche quantique va comme et les classiques comme où est le nombre d'étapes pour un modèle discret, ou le temps dans un modèle continu. Notez que cela ne se limite pas à la ligne, et pour de nombreux graphiques, vous verrez une relation quadratique similaire entre le temps de mélange quantique et classique, je considère le cas restreint de la ligne car je pense qu'il est plus facile à analyser.Θ ( t une / deux ) $\Theta(t)$$\Theta({t^{1/2}})$$t$

Au fur et à mesure que nous introduisons la décohérence dans une marche quantique (par mesure ou bruit), la marche commence à se comporter de façon plus classique. En fait, pour la plupart des mesures, nous nous retrouvons avec une marche classique qui se propage sous la forme si elle est vue à partir de la bonne échelle de temps. Pour d'autres formes de décohérence (telles que le déphasage de la pièce ou l'introduction d'imperfections dans la ligne), il existe généralement un seuil net en dessous duquel la marche se comporte de manière quantique (répartie en ) et au-dessus de laquelle la marche commence à être classique ( étalé comme ). En fait, cette mise à l'échelle a même été suggérée comme la définition d'une marche quantique.Θ ( t ) Θ ( t 1 / 2$\Theta(t^{1/2})$$\Theta(t)$$\Theta(t^{1/2})$

Version longue de la question

Existe-t-il des modèles de décohérence pour une marche aléatoire sur la ligne, tels que lorsque nous modifions la quantité de décohérence, nous pouvons obtenir un écart-type de position qui évolue comme pour tout ? Alternativement pour d'autres graphiques avec un écart dans le temps de mélange ou de frappe, existe-t-il des formes de décohérence afin que nous puissions avoir le mélange / frappe / écart-type qui va comme pour tout et où est le mélange / frappe / STD classique et est le quantum pur. Si ce n'est pas possible, y a-t-il une raison plus profonde pour laquelle nous voyons ce genre de comportement de l'un ou de l'autre?1 / deux ≤ k ≤ 1 f ( t ) f ∈ Σ ( g ( t ) ) f ∈ O ( h ( t ) ) g ( t ) h ( t $\Theta(t^k)$$1/2 \leq k \leq 1$$f(t)$$f \in \Sigma(g(t))$$f \in O(h(t))$$g(t)$$h(t)$

$t$$t^{\frac{1}{2}}$

$t$$t^2$$t^{\frac{1}{2}}$$t$

Cependant, exactement la même chose se produit en métrologie quantique lorsque du bruit est introduit, mais peut être surmonté pour produire une mise à l'échelle intermédiaire (voir par exemple JA Jones et al, Science, 324, 5931 (2009), arXiv: 1103.1219 , arXiv: 1101.2561 , etc.). Un moyen d'y parvenir consiste à effectuer des mesures intermédiaires.

$T$$t=nT$$\mbox{Var}(x(nT)) = \sum_{i = 1}^n \mbox{Var}(x(T)) = n \mbox{Var}(x(T))$$\mbox{Var}(x(T)) = T^2$$\mbox{Var}(x(t)) = n T^2$$t=nT$$n\propto t^k$$T\propto t^{1-k}$$\mbox{Var}(x(t)) = t^{2-k}$