Relation entre la dureté de reconnaissance d'une classe de graphes et la caractérisation de sous-graphes interdite

J'envisage des classes de graphes qui peuvent être caractérisées par des sous-graphes interdits.

Si une classe de graphes a un ensemble fini de sous-graphes interdits, il existe alors un algorithme de reconnaissance temporelle polynomiale trivial (on peut simplement utiliser la force brute). Mais une famille infinie de sous-graphes interdits n'implique pas la dureté: il existe certaines classes avec une liste infinie de sous-graphes interdits tels que la reconnaissance peut également être testée en temps polynomial. Les graphiques Chordal et Perfect en sont des exemples mais, dans ces cas, il existe une "belle" structure sur la famille interdite.

Existe-t-il une relation connue entre la dureté de la reconnaissance d'une classe et le "mauvais comportement" de la famille interdite? Une telle relation devrait exister? Ce "mauvais comportement" a été officialisé quelque part?

cc.complexity-theory graph-theory np-hardness

— Vinicius dos Santos
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Réponses:

Bien qu'il semble intuitif que la liste des sous-graphes interdits (induits) pour une classe de graphes qui a une reconnaissance NP-dure devrait posséder une certaine complexité "intrinsèque", j'ai récemment trouvé des preuves négatives frappantes de cette intuition dans le Littérature. $\mathscr{C}$

La description la plus simple est peut-être la suivante, tirée d' un article de B. Lévêque, D. Lin, F. Maffray et N. Trotignon .

Soit la famille de graphes qui sont composés d'un cycle de longueur d'au moins quatre, plus trois sommets: deux adjacents au même sommet du cycle, et un adjacent à un sommet du cycle, où et sont non consécutifs dans le cycle (et pas d'autres bords). $F$ $u$ $v$ $u$ $v$

Soit maintenant la famille de graphes qui sont composés exactement de la même manière, sauf que vous ajoutez quatre sommets: deux adjacents au même sommet du cycle (comme précédemment), mais maintenant deux adjacents au même sommet du cycle, où encore et ne sont pas consécutifs. $F'$ $u$ $v$ $u$ $v$

Alors la classe de graphes qui a comme sous-graphes induits interdits a une reconnaissance en temps polynomial, alors que la reconnaissance de la classe qui a comme sous-graphes induits interdits est NP-difficile. $F$ $F'$

Par conséquent, je trouve difficile de concevoir une condition générale qu'une liste de sous-graphes induits interdits doit satisfaire lorsqu'elle aboutit à une classe avec une reconnaissance dure (NP-), étant donné qu'une telle condition devra séparer les "très similaires" et ci-dessus. $F$ $F'$

— Hugo Nobrega
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Belle réponse - c'est assez délicat.

— Suresh Venkat

Intéressant. Y a-t-il une chance que cela ait quelque chose à voir avec l'expressivité de la logique requise pour décrire le modèle? Je pense à quelque chose comme pour les langages formels où la complexité d'un langage peut être caractérisée de manière équivalente par la façon dont il est défini (regexp, grammaire formelle ...) ou la machine requise pour le reconnaître (automate, pushdown ...) ou l'expressivité de la logique nécessaire à l'écriture d'une formule caractérisant les mots de la langue (MSO pour les langues régulières, par exemple).

— a3nm

C'est une idée intéressante, mais encore une fois, je ne peux m'empêcher de penser que et sont si proches qu'il est difficile d'imaginer un moyen de les "séparer" comme ça (disons que étant descriptible dans un langage que n'est pas ). Je pourrais juste être trop négatif cependant ..! Je suis certes en train de "l'intuition" ici, donc je serais heureux d'avoir tort.

F

$F$

F^{'}

$F'$

F

$F$

F^{'}

$F'$

— Hugo Nobrega

@Hugo: une différence tangible entre eux est la symétrie dans la caractérisation de - il n'y a intrinsèquement aucun moyen de distinguer les sommets et . Que se passe-t-il si vous considérez la famille de cycles de longueur d'au moins quatre, plus deux sommets supplémentaires, adjacents à des verts non consécutifs dans le cycle? La restauration de la symétrie dans l'autre direction (supprimer un vert de plutôt que d'en ajouter un) rend-elle la tâche encore difficile?

F^{'}

$F'$

u

$u$

v

$v$

F_{0}

$F_0$

F

$F$

— Steven Stadnicki

@Steven: Je suppose que non, on peut détecter des graphiques dans en devinant au hasard 8 nœuds, formant les deux côtés du graphique, et exécuter un algorithme trois dans un arbre sur trois nœuds, comme celui du théorème 3.1. Cela donne un algorithme polynomial pour détecter .

F_{0}

$F_0$

F_{0}

$F_0$

— Hsien-Chih Chang 張顯之

La réponse de @Hugo est vraiment sympa, et ici je veux ajouter quelques opinions personnelles.

Il existe des familles apparentées similaires aux graphiques de la famille F et F '. Les graphiques de la famille B1 de l'article sont généralement appelés pyramides. Et les graphiques de la famille B2 sont généralement appelés prismes. Voir la réponse ici pour une illustration. Dans la littérature sur les problèmes de détection de sous-graphes induits, ils ont été utilisés pour détecter des trous pairs / impairs, qui sont des cycles sans accords de longueur paire / impaire. D'après le célèbre théorème du graphe parfait fort, un graphe G est parfait si G et le complément de G ne contiennent pas de trous impairs.

Pour les familles de pyramides et de prismes, il y a en fait des différences entre elles - l'une a un sous-arbre induit de trois feuilles et l'autre pas. C'est ce qu'on appelle le problème des «trois dans un arbre» , qui a été étudié par Chudnovsky et Seymour. Il est surprenant que déterminer s'il existe un arbre induit qui contient trois nœuds donnés est traitable, alors que le problème des «quatre arbres centrés» est difficile à NP . (Un arbre centré est un arbre avec au plus un nœud de degré supérieur à 2.) Les différences entre F et F 'semblent être causées par la même raison.

Mais il semble qu'une caractérisation complète soit encore difficile, car nous ne connaissons même pas la complexité de la détection de graphiques dans certaines familles qui semble assez simple, comme les graphiques sans trous impairs (!). Et pour les familles que nous connaissons, un algorithme à temps polynomial existe, comme les graphiques parfaits et les graphiques sans trous pairs, bien qu'il existe des stratégies générales (basées sur des décompositions) pour concevoir un algorithme, il faut fournir un théorème structurel spécifique pour leur. Il s'agit généralement d'un processus familial, et la plupart du temps, les preuves sont vraiment longues. ( Voici un exemple pour le graphique sans trou égal, où le papier fait plus de 90 pages.)

Il serait néanmoins intéressant de disposer de certaines classifications des problèmes de détection de sous-graphes induits, dans le sens du problème des trois dans un arbre.

— Hsien-Chih Chang 張顯之
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