Quelles sont les lois équationnelles pour les types nuls?

Avertissement : bien que je m'intéresse à la théorie des types, je ne me considère pas comme un expert en théorie des types.

Dans le calcul lambda simplement tapé, le type zéro n'a pas de constructeurs et un éliminateur unique:

$$\frac{\Gamma \vdash M \colon 0}{\Gamma \vdash initial (M) \colon A}$$

D'un point de vue dénotationnel, l'équation $initial (M_1) = initial(M_2)$ est évidente (lorsque les types ont un sens).

Cependant, de ce point de vue, je peux également déduire que, lorsque $M,M' \colon 0$ , alors: $M = M'$ . Cette déduction semble plus forte, bien qu'un modèle particulier qui la montre m'échappe.

(J'ai cependant une certaine intuition de la théorie de la preuve: peu importe la contradiction que vous utilisez pour obtenir un habitant, mais il peut y avoir différentes preuves de contradiction.)

Mes questions sont donc:

1. Quelles sont les lois équationnelles standard pour les types nuls?
2. Y en a-t-il parmi les lois $\eta$ ou $\beta$ ?

1. Les règles équationnelles standard pour le type vide sont, comme vous le supposez, . Pensez au modèle standard de la théorie des ensembles, où les ensembles sont interprétés par des types: les types de somme sont des unions disjointes et le type vide est l'ensemble vide. Ainsi, deux fonctions e , e ′ : Γ → 0 doivent également être égales, car elles ont un graphe commun (à savoir le graphe vide). .$\Gamma \vdash e = e' : 0$$e,e' : \Gamma \to 0$

2. Le type vide n'a pas de règles , car il n'y a pas de formulaire d'introduction pour lui. Sa seule règle équationnelle est une règle η . Cependant, en fonction de la rigueur avec laquelle vous souhaitez interpréter ce qu'est une règle ETA, vous pouvez souhaiter la décomposer en un η plus une conversion de navettage. La règle η stricte est:$\beta$$\eta$$\eta$$\eta$

   $$e = \mathrm{initial}(e)$$

   La coversion de navettage est:

   $$C[\mathrm{initial}(e)] = \mathrm{initial}(e)$$

ÉDITER:

Voici pourquoi la distributivité au type zéro implique l'égalité de toutes les cartes .$A \to 0$

Pour corriger la notation, écrivons pour être la carte unique de 0 à A , et écrivons e : A → 0 pour être une carte de A à 0 .$!_A : 0 \to A$$0$$A$$e : A \to 0$$A$$0$

Maintenant, la condition de distributivité dit qu'il y a un isomorphisme . Puisque les objets initiaux sont uniques jusqu'à l'isomorphisme, cela signifie que A × 0 est lui-même un objet initial. Nous pouvons maintenant l'utiliser pour montrer que A lui-même est un objet initial.$i : 0 \simeq A \times 0$$A \times 0$$A$

Puisque est un objet initial, nous connaissons les cartes π 1 : A × 0 → A et ! A ∘ π 2 sont égaux.$A \times 0$$\pi_1 : A \times 0 \to A$$!_A \circ \pi_2$

Maintenant, pour montrer que est un objet initial, nous devons montrer un isomorphisme entre lui et 0 . Choisissons e : A → 0 et ! A : 0 → A comme composants de l'isomorphisme. Nous voulons montrer que e ∘ ! A = i d 0 et ! A ∘ e = i d A .$A$$0$$e : A \to 0$$!_A : 0 \to A$$e \circ !_A = id_0$$!_A \circ e = id_A$

Montrant que est immédiat, car il n'y a qu'une seule carte de type 0 → 0 , et nous savons qu'il y a toujours une carte d'identité.$e \circ !_A = id_0$$0 \to 0$

Pour montrer l'autre sens, notez

$$\begin{array}{lcll} id_A & = & \pi_1 \circ (id_A, e) & \mbox{Product equations} \\ & = & !_A \circ \pi_2 \circ (id_A, e) & \mbox{Since $A\times 0$ is initial} \\ & = & !_A \circ e & \mbox{Product equations} \end{array}$$

Nous avons donc un isomorphisme , et donc A est un objet initial. Les cartes A → 0 sont donc uniques, et donc si vous avez e , e $A \simeq 0$$A$$A \to 0$ , alors e = e ′ .$e,e' : A \to 0$$e = e'$

EDIT 2: Il s'avère que la situation est plus jolie que je ne le pensais à l'origine. J'ai appris d'Ulrich Bucholz qu'il est évident (au sens mathématique de "rétrospectivement évident") que chaque biCCC est distributif.$\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}$ Voici une petite preuve mignonne:

$$\begin{array}{lcl} \Hom((A + B) \times C, (A + B) \times C) & \simeq & \Hom((A + B) \times C, (A + B) \times C) \\ & \simeq & \Hom((A + B), C \to (A + B) \times C) \\ & \simeq & \Hom(A , C \to (A + B) \times C) \times \Hom(B, C \to (A + B) \times C) \\ & \simeq & \Hom(A \times C, (A + B) \times C) \times \Hom(B \times C, (A + B) \times C) \\ & \simeq & \Hom((A \times C) + (B \times C), (A + B) \times C) \end{array}$$

$e = e' : 0$$0$$0$

$$\frac{e : 0}{\mathtt{magic}_\tau(e) : \tau}.$$ $$\mathtt{magic}_\tau(e) = e' : \tau$$ where $e : 0$ and $e' : \tau$. Throughout $\tau$ is any type. The equation is motivated as follows: if you managed to form the term $\mathtt{magic}_\tau(e)$ then $0$ is inhabited by $e$, but this is absurd so all equations hold. So another way of achieving the same effect would be to pose the equation $$x : 0, \Gamma \vdash e_1 = e_2 : \tau$$ which is perhaps not so nice because it fiddles with the context. On the other hand, it shows more clearly that we are stating the fact that any two morphisms from $0$ to $\tau$ are equal (the $\Gamma$ is a distraction in a CCC).