Pourquoi est-il si difficile pour un ordinateur de prouver quelque chose?

Cela peut être considéré comme une question stupide. Je ne suis pas majeur en informatique (et je ne suis pas encore majeur en mathématiques non plus), alors veuillez m'excuser si vous pensez que les questions suivantes présentent des hypothèses erronées majeures.

Bien qu'il soit prévu d'officialiser le dernier théorème de Fermat (voir cette présentation ), je n'ai jamais lu ni entendu qu'un ordinateur peut prouver même un théorème "simple" comme celui de Pythagore.

Pourquoi pas? Quelle (s) est (sont) la (les) principale (s) difficulté (s) à établir une preuve entièrement autonome par ordinateur, aidée uniquement par certains "axiomes intégrés"?

Une deuxième question que je voudrais poser est la suivante: pourquoi pouvons-nous formaliser de nombreuses preuves alors qu'il est actuellement impossible pour un ordinateur de prouver un théorème à lui seul? Pourquoi est-ce "plus difficile"?

Bien qu'il soit prévu d'officialiser le dernier théorème de Fermat (voir cette présentation), je n'ai jamais lu ni entendu qu'un ordinateur peut prouver même un théorème "simple" comme celui de Pythagore.

En 1949, Tarski a prouvé que presque tout dans Les Éléments se trouve dans un fragment de logique décidable, lorsqu'il a montré la décidabilité de la théorie du premier ordre des champs fermés réels. Donc, le théorème de Pythagore en particulier n'est pas beaucoup parlé parce qu'il n'est pas particulièrement difficile.

En général, l'induction rend le théorème difficile à prouver. Logique du premier ordre sans induction a une propriété très utile appelée la propriété subformula: vraies formules ont des preuves impliquant uniquement les sous - termes de A . Cela signifie qu'il est possible de construire des prouveurs de théorèmes qui peuvent décider quoi prouver ensuite sur la base d'une analyse du théorème qu'ils sont invités à prouver. (L'instanciation de quantificateur peut rendre la notion de sous-formule un peu plus subtile, mais nous avons des techniques raisonnables pour y faire face.)$A$$A$

$A$$B$$A$

Deux difficultés principales. Incomplétude (voir les Théorèmes d'incomplétude de Gödel) et la grande taille de l'espace de recherche (il y a beaucoup plus de théorèmes inintéressants qu'intéressants). Des progrès considérables ont été réalisés grâce aux assistants de preuve ( Coq , Isabelle, Agda, etc.). Avec ceux-ci, le mathématicien écrit les théorèmes et les lemmes et l'assistant de preuve aide à trouver des preuves et s'assure que les preuves sont logiquement valides.

$P$$Q$$P\wedge Q$

Cet article décrit comment l'assistant de preuve Coq est utilisé pour prouver le théorème des quatre couleurs. Les mathématiques mécanisées ( vue d'ensemble ) sont un domaine du TCS consacré aux théorèmes de démonstration (semi) automatique (et en général à l'aide d'ordinateurs pour aider les mathématiciens).

Un domaine dans lequel la démonstration automatisée de théorèmes (en quelque sorte) a un impact est la vérification et la recherche de modèles. La vérification de modèle consiste à déterminer si un système donné satisfait une propriété donnée, tandis que la recherche de modèle trouve un système pour satisfaire une collection donnée de propriétés. L'outil Alloy utilise la vérification et la recherche de modèle à bon escient, et il est tout à fait utilisable.