Existe-t-il une théorie de la complexité analogue au théorème de Rice dans la théorie de la calculabilité?

Le théorème de Rice déclare que chaque propriété non triviale de l'ensemble reconnu par une machine de Turing est indécidable.

Je recherche un théorème de type rizicole de complexité complexe qui nous dit quelles propriétés non triviales des ensembles NP sont insolubles.

— Mohammad Al-Turkistany
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Je vous demanderais de clarifier un peu plus, mais je pense que je sais ce que vous voulez dire. La réponse est essentiellement que le théorème de Rice s'applique toujours. Bien que ce ne soit pas la même question, je pense que votre question est tout aussi bien répondue par ceci: cstheory.stackexchange.com/questions/161/… . Voter pour fermer en double.

— Joshua Grochow

Ma question n'est PAS de décider du temps qu'un ensemble est dans NP, mais de trouver un théorème qui pourrait dire quels problèmes dans NP ne sont pas calculables efficacement (ne pas avoir d'algorithme de temps polynomial).

— Mohammad Al-Turkistany

C'est trop demander quelque chose qui peut être utilisé pour "prouver" qu'un ensemble NP est insoluble à résoudre! Mais il existe des théorèmes de Rice-ish qui peuvent être utilisés pour établir la «dureté NP» des problèmes.

— Ryan Williams

Joshua, permettez-moi d'utiliser un exemple, l'ensemble des graphiques à 3 couleurs est en NP. Je veux un théorème de style Rice qui peut être utilisé pour prouver que le problème de 3 couleurs n'a pas d'algorithme de temps polynomial (prouvablement intraitable)

— Mohammad Al-Turkistany

turkistany: vous demandez une preuve que P! = NP? :) Ou voulez-vous dire que l'algorithme est restreint dans un certain sens?

— arnab

Réponses:

Prouver une telle version théorique de la complexité du théorème de Rice m'a motivé à étudier l'obscurcissement du programme.

Le théorème de Rice dit en substance qu'il est difficile de comprendre les fonctions que les programmes calculent, étant donné le programme. Cependant, la raison pour laquelle ces problèmes sont indécidables est qu'ils sont infinitaires. Même sur une entrée, un programme peut ne jamais s'arrêter, et nous devons considérer ce que le programme fait sur une infinité d'entrées.

Une version finale du théorème de Rice fixerait la taille d'entrée et le temps d'exécution d'un programme, et dirait que le programme est difficile à comprendre. Une fois que vous les avez corrigés, vous pouvez aussi bien voir le programme comme un circuit booléen. Quelles propriétés de la fonction calculée par un circuit booléen sont difficiles à calculer? Un exemple est `` pas toujours 0 '', qui est le problème de satisfaction NP-complet. Mais contrairement au théorème de Rice, certaines propriétés sont non triviales mais faciles, même sans comprendre le circuit. On peut toujours savoir que: la fonction calculée par un circuit a une complexité de circuit bornée (la taille du circuit). De plus, nous pouvons toujours évaluer le circuit sur les entrées de notre choix.

Disons donc qu'une propriété de est facile avec l'accès à la boîte noire si elle peut être calculée, d en temps polynomial probabiliste par un algorithme qui obtient comme entrée , une borne sur et l' accès à oracle . Par exemple, la satisfiabilité n'est pas facile avec un accès en boîte noire, car on pourrait imaginer un circuit de taille qui ne produit que la réponse 1 sur une entrée choisie au hasard . Aucun algorithme de boîte noire ne pouvait distinguer un tel circuit de celui qui renvoyait toujours 0, car la probabilité d'interroger l'oracle sur est exponentiellement faible. Par contre, la propriété $f_C$ $n$ $|C|$ $f_C$ $n$ $x$ $x$ est une boîte noire facile. La question est: y a-t-il des propriétés de qui sont décidables en temps polynomial probabiliste qui ne sont pas faciles avec l'accès à la boîte noire? $f(0..0)=1$ $f_C$

Bien que cette question soit ouverte pour autant que je sache, notre approche envisagée a été exclue. Nous avions espéré le prouver en montrant que l'obscurcissement cryptographique du programme était possible. Cependant, Boaz a prouvé le contraire: c'était impossible. Cela montre implicitement que l'accès de la boîte noire aux circuits est plus limité que l'accès complet à la description du circuit, mais la preuve n'est pas constructive, donc je ne peux nommer aucune propriété comme ci-dessus qui est facile étant donné la description du circuit mais pas avec du noir - l'accès à la boîte. Il est intéressant (du moins pour moi) qu'une telle propriété puisse être rétroconçue à partir de notre article.

Voici la référence: Boaz Barak, Oded Goldreich, Russell Impagliazzo, Steven Rudich, Amit Sahai, Salil P. Vadhan, Ke Yang: Sur la (Im) possibilité de masquer les programmes. CRYPTO 2001: 1-18

— Russell Impagliazzo
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Plusieurs de ces théorèmes ont été prouvés au fil des ans. Plus récemment, des efforts ont été déployés pour établir des théorèmes de «style riz» pour les problèmes sur les circuits. (Il est naturel de remplacer "machines" par "circuits". Une fois que vous faites cela, le nombre total d'entrées possibles devient fixe, donc vous ne rencontrez pas de problèmes d'indécidabilité.) Deux références:

Bernd Borchert, Frank Stephan: À la recherche d'un analogue du théorème de Rice dans la théorie de la complexité des circuits. Math. Journal. Q. 46 (4): 489-504 (2000)

Lane A. Hemaspaandra, Jörg Rothe: Une deuxième étape vers les analogues théoriques de la complexité du théorème de Rice. Théor. Comput. Sci. 244 (1-2): 205-217 (2000)

Voici un exemple de résultat: "Chaque propriété de comptage correcte non vide des circuits est UP-hard." Vous pouvez lire les articles pour les définitions, mais cela signifie à peu près que toute propriété dépendant du nombre d'assignations satisfaisantes à un circuit est difficile pour la classe UP (donc intraitable).

Il existe également des travaux plus anciens sur les versions théoriques de la complexité du théorème de Rice, dans une veine différente. Je ne le connais pas, mais les articles ci-dessus les citent.

— Ryan Williams
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$NP$ $NP$ $NP$

— Mohammad Al-Turkistany
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