Les bases de Gröbner dans TCS?

Est-ce que quelqu'un connaît des applications intéressantes des bases de Gröbner à l'informatique théorique?

Les bases de Gröbner sont utilisées pour résoudre des équations polynomiales multivariées, un problème NP-difficile en général. Je me demandais si des cas spéciaux traitables étaient utilisés pour fournir des algorithmes / constructions / preuves efficaces dans des domaines liés au TCS ou liés au TCS (combinatoire, théorie du codage).

Le calcul de base de Gröbner, alors qu'EXPSPACE-complete en général, est en PSPACE sur des anneaux booléens. Cela a des applications dans la vérification des modèles pour remplacer les BDD: Quoc-Nam Tran, "Un algorithme PSPACE pour le calcul des bases Groebner dans des anneaux booléens", Proc. WASET, Vol. 35, nov. 2008, ISSN 2070-3740

[NOTE] Le résultat indiquant que le calcul de la base Groebner est dans PSPACE sur les anneaux booléens semble erroné, voir Mark van Hoeij, La base de Gröbner dans les anneaux booléens n'est pas P-SPACE , arXiv: 1502.07220 , 2015.

[NOTE] L'affirmation selon laquelle le résultat indiquant que le calcul de base de Groebner est dans PSPACE sur les anneaux booléens semble fausse, est fausse. L'auteur confond la calculabilité PSPACE avec la taille polynomiale. Une fonction PSPACE peut avoir une sortie longue de façon exponentielle.

Il existe un volume intéressant de Springer sur les applications des bases de Gröbner en codage et cryptographie:

• Bases de Gröbner, codage et cryptographie , / Sala, M .; Mora, T .; Perret, L .; Sakata, S .; Traverso, C. (Eds.).

Personnellement, je fais des recherches sur les algorithmes de calcul des idéaux de polynômes de localisateurs d’erreur (concept assez connu en théorie du codage, en particulier le décodage du syndrome). Dans le cas des codes de localisateurs d’erreur de géométrie algeraic, ideal est généralement un idéal de polynôme de plusieurs variables - c’est là que les bases de Gröbner jouent un rôle central. Dans le volume susmentionné, la partie la plus intéressante pour moi est la description de l'algorithme BMS par S. Sakata et un aperçu de ses applications pour le décodage de codes de géométrie algébrique.

Récemment entendu lors de l'atelier 8F

La preuve originale que le codage réseau peut être implémenté dans un réseau à flux utilise les bases de Gröbner.

Les bases de Gröbner ont été appliquées aux problèmes de satisfaction de contraintes (voir cette subvention ). À ce stade, les techniques de base de Gröbner ne semblent pas utiles pour les applications de satisfaction de contraintes, car elles rivalisent avec des heuristiques de recherche éprouvées, des techniques de mise en cohérence, et des propagateurs efficaces à usage spécial, sans oublier de bons solveurs SAT polyvalents. Cependant, je pense qu'il y a définitivement des utilisations théoriques à découvrir, en particulier lorsque la base de Gröbner a une taille raisonnable. Voir également le document de Jefferson, Jeavons, Green et van Dongen , présenté à MACIS 2007 (version de la revue: AMAI 67 359–382, 2013, doi: 10.1007 / s10472-013-9365-7 ), qui traite de certains des problèmes .

J'ai utilisé une base de Gröbner pour trouver une preuve sommaire d'un nouveau théorème de dichotomie pour les problèmes #CSP sur des graphes 3-réguliers avec une seule fonction de contrainte binaire ayant des poids complexes ( version arXiv ).

$f \sim g$$\#\operatorname{CSP}(f) = \#\operatorname{CSP}(g)$

La base de Gröbner est utilisée pour convertir les quatre variables initiales nécessaires à la définition d’une fonction binaire en six "variables symétrisées" qui sont invariantes dans chaque classe d’équivalences (voir la section D du document lié ci-dessus). Cependant, la base de Gröbner n'est pas mentionnée dans l'article, son seul objectif étant de transformer automatiquement les quatre variables initiales en six variables symétrisées dans divers polynômes (préformés par GroebnerBasis de Mathematica ).

Le document suivant peut être vu comme une seule application.

• Gunnar Carlsson, Gurjeet Singh, Afra Zomorodian: Calcul de la persistance multidimensionnelle. Journal of Computational Geometry, 1 (1) 2010, pages 72-100. http://jocg.org/index.php/jocg/article/view/19

Je vois que les auteurs utilisent l'algorithme de Buchberger comme un sous-programme et exploitent la structure de leur problème pour prouver que la durée d'exécution est polynomiale.

Grant Passmore et d’autres écrivent à leur sujet dans le contexte des solveurs SMT. Je ne suis pas un expert des bases Groebner ni des solutions de résolution SMT. Il m'est donc difficile d'évaluer dans quelle mesure cette référence répond à votre question.

Pour prouver la complexité, l'utilisation des bases de Gröbner a été proposée par Clegg, Edmonds et Impagliazzo pour réfuter les FNC. Il existe des cas dans lesquels ce système de preuves surpasse de façon exponentielle la résolution, mais il ne me semble pas qu'il y ait une réelle amélioration des performances pour les instances générales.

$GF(2)$

Cependant, le calcul polynomial n'a pas été autant étudié que la résolution, de sorte que des heuristiques bien testées ne sont pas disponibles.

Voir aussi ceci ceci pour une application dans cryptanalysyis (je ne sais pas grand chose à ce sujet).

Alekseyev et Pevzner les utilisent dans cet article$k$$k$

Les bases de Grobner sont utilisées pour les algorithmes de décodage de liste les plus rapides pour les codes de Reed-Solomon: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.320.1170&rep=rep1&type=pdf

Les bases de Gröbner ont été utilisées avec succès pour résoudre d'importants problèmes de géométrie à vues multiples en vision par ordinateur .

Suivant http://arxiv.org/pdf/1502.05912.pdf, on utilise parfois une base de Grobner pour décider de l'isomorphisme (lorsque les graphes sont codés par des systèmes d'équations). Mais cela rejoint l'utilisation de la base grobner dans la réfutation du CNFS.