Complexité des propriétés topologiques.

Je suis un informaticien qui suit un cours sur la topologie (une pincée de topologie ponctuelle fortement aromatisée par la théorie du continuum). Je me suis intéressé aux problèmes de décision en testant une description d'un espace (par simplification) pour les propriétés topologiques; ceux conservés jusqu'à l'homéomorphisme.

Il est connu, par exemple, que la détermination du genre d'un nœud se fait dans PSPACE et est NP-Hard. (Agol 2006; Hass, Lagarias, Pippenger 1999)

D' autres résultats ont plus une idée plus générale: AA Markov (fils de la Markov) a montré en 1958 que deux espaces pour tester un homéomorphisme dans les dimensions ou plus est indécidable (en montrant l'indécidabilité pour 4-collecteurs). Malheureusement, ce dernier exemple n'est pas un parfait exemple de ma question, car il traite du problème de l'homéomorphie lui-même plutôt que des propriétés préservées sous l'homéomorphisme.$5$

Il semble y avoir une grande quantité de travail dans la "topologie de basse dimension": théorie des nœuds et des graphes. Je suis certainement intéressé par les résultats de la topologie de faible dimension, mais je suis plus intéressé par les résultats généralisés (ceux-ci semblent être rares).

Je suis plus intéressé par les problèmes qui sont NP-Hard en moyenne, mais je me sens encouragé à énumérer les problèmes inconnus.

Quels sont les résultats connus sur la complexité de calcul des propriétés topologiques?

La topologie informatique englobe un énorme corpus de recherches. Un résumé complet de chaque résultat de complexité serait impossible. Mais pour vous donner un petit avant-goût, permettez-moi de développer votre exemple.

$O(n)$

En 1950, Turing a prouvé que le problème du mot dans les semi - groupes finis est indécidable, par réduction du problème d'arrêt (surprise, surprise).

S'appuyant sur le résultat de Turing, Markov a prouvé en 1951 que chaque propriété non triviale des semi-groupes finis est indécidable. Une propriété de groupes n'est pas triviale si un groupe a la propriété et qu'un autre groupe n'en a pas. Les informaticiens théoriques connaissent le résultat similaire sur les fonctions partielles comme le «théorème de Rice».

En 1952, Novikov a prouvé que le mot problème dans les groupes finement présentés est indécidable, prouvant ainsi que l'intuition de Dehn était correcte. Le même résultat a été prouvé indépendamment par Boone en 1954 et Britton en 1958.

En 1955, Adyan a prouvé que tous les biens non négligeable de type fini présentés des groupes est indécidable. Le même résultat a été prouvé indépendamment par Rabin en 1956. (Oui, ce Rabin.)

Enfin, en 1958, Markov a décrit des algorithmes pour construire des complexes cellulaires à 2 dimensions et des variétés à 4 dimensions avec tout groupe fondamental souhaité, étant donné la présentation du groupe en entrée. Ce résultat a immédiatement impliqué qu'un grand nombre de problèmes topologiques sont indécidables, notamment les suivants:

• Un cycle donné dans un complexe bidimensionnel donné est-il contractible? (C'est le mot problème.)
• Un complexe 2 donné est-il simplement connecté? ("Ce groupe est-il trivial?")
• Est-ce qu'un cycle donné dans une variété à 4 variétés est contractible?
• Un 4 collecteurs donné est-il contractible?
• Un 4-manifold donné est-il homéomorphe à un 4-manifold particulier (construit par Markov)?
• Un 5-manifold donné est-il homéomorphe à la 5-sphère (ou tout autre 5-collecteur fixe que vous choisissez)?
• Un complexe à 6 donné est-il une variété?

$G$$G$$\pi_1(S^3)$$G$$G$

Ryan Budney a entamé des discussions similaires à MathOverFlow:

/mathpro/35946/how-expensive-is-knowledge-knots-links-3-and-4-manifold-algorithms

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et sur Wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Computational_topology