Je crois que la réponse à votre question est "non" car une condition équivalente impliquerait une solution temporelle polynomiale à l'IG.
Pour , la matrice d'adjacence du graphe G , notez que le nombre de chemins de i à j de longueur k est ( A k ) i , j (avec répétition des sommets et arêtes autorisée). Pour deux graphes G 1 et G 2 (avec les matrices d'adjacence A 1 et A 2 ) et k ≥ 1 , si vous avez trié les éléments de A k 1 et A k 2 alors pourAGijk(Ak)i,jG1G2A1A2k≥1Ak1Ak2 pour être isomorphe à G 2 , il est nécessaire que les listes soient identiques pour tout k .G1G2k
Je pense que votre conjecture équivaut à:
Si les listes triées d'éléments de et A d 2 sont identiques pour k = 1 à n - 1 (limite supérieure sur le chemin le plus long avec des sommets non répétitifs) alors G 1 et G 2 sont isomorphes.Ak1Ad2k=1n−1G1G2
Donc, pour résoudre GI, il suffit d'effectuer multiplications de n × n matrices (et un peu de temps supplémentaire pour trier et comparer n 2 éléments). Cela prendrait moins de n 4 fois.n−1n×nn2n4
J'admets deux failles possibles dans mon argument. Premièrement, il est tout à fait possible que GI ait un algorithme de temps polynomial et que nous venons de le découvrir ensemble, tout à l'heure (hourra, nous sommes célèbres!). Je trouve cela très improbable. Deuxièmement (et beaucoup plus probable), ce que j'ai proposé n'est pas réellement équivalent à votre conjecture.
Pensée finale. Avez-vous essayé cela pour tous, disons, des graphiques 3-réguliers pour la taille 8 ou plus? Je penserais que si votre conjecture est fausse, il devrait y avoir un contre-exemple dans les graphes 3 réguliers de taille assez petite.