Décomposition modulaire et largeur de clique

J'essaie de comprendre certains concepts sur la décomposition modulaire et les graphiques à largeur de clique .

Dans cet article ("On P4-tidy graphs"), il y a une preuve de la façon de résoudre des problèmes d'optimisation comme le nombre de cliques ou le nombre chromatique en utilisant la décomposition modulaire. Résoudre ces problèmes en composant (en utilisant la somme disjointe ou l'union disjointe) deux graphiques G1, G2 est facile lorsque vous connaissez la réponse pour G1 et G2. Étant donné que les graphiques principaux sur la décomposition des graphiques ordonnés P4 sont des graphiques bornés (c.-à-d. C5, P5, etc.), il est facile de le résoudre pour ces "cas de base", puis de le résoudre pour les compositions. Par conséquent, en utilisant l'arbre de décomposition, il est possible de résoudre ces problèmes en temps linéaire.

Mais il semble que cette technique fonctionnerait avec n'importe quelle classe de graphe telle que les graphes premiers soient bornés. Puis j'ai trouvé cet article "Problèmes d'optimisation résolvables en temps linéaire sur des graphiques de largeur de clique bornée" qui semble faire la généralisation que je cherchais mais je ne pouvais pas très bien le comprendre.

Ma question est:

1- Est-ce équivalent à dire que les graphes premiers de l'arbre de décomposition sont bornés (comme dans le cas des graphes bien rangés P4) et à dire qu'un graphe a la propriété "Clique-Width" bornée?

2- Dans le cas où la réponse pour 1 est NON, alors: Existe-t-il un résultat sur les classes de graphes avec des graphes premiers bornés (comme dans les graphes rangés P4) et donc des problèmes d'optimisation comme le nombre de cliques résolubles en temps linéaire sur toutes ces classes ?

vous trouverez un texte d'introduction sur la largeur de clique (cwd pour faire court) ici: Limites supérieures à la largeur de clique des graphiques (B. Courcelle et S. Olariu, DAM 101). Vous pouvez trouver des résultats plus récents dans cette enquête: Développements récents sur les graphiques de largeur de clique bornée (M. Kaminski, V. Lozin, M. Milanic, DAM 157 (12): 2747-2761 (2009))

Cwd est une mesure de complexité basée sur des opérations de graphes qui généralisent la concaténation de mots. Des graphes dénombrables infinis peuvent avoir un CWD borné. Vous direz qu'un ensemble (éventuellement infini) de graphes (finis ou dénombrables) a borné cwd s'il existe une constante k telle que tout graphe de cet ensemble ait cwd au plus k. Par exemple, les graphes complets ont cwd 2, les graphes héréditaires à distance cwd au plus 3, ...

1) Le lien entre cwd et modular-dec est le suivant: cwd (G) = max {cwd (H) | H prime dans le dec modulaire de G}. Par conséquent, vous pouvez dire que cwd généralise le fait que "les graphiques premiers ont une taille limitée". Vous pouvez avoir des graphiques avec des graphiques premiers de taille illimitée mais avec un cwd borné.

2) si la taille des graphes premiers est bornée, le cwd est borné. Les résultats de l'article que vous citez indiquent que tout problème exprimable dans MSOL peut être résolu efficacement dans les classes de graphes de cwd borné. Cet ensemble de problèmes comprend de nombreux problèmes NP-complets: nombre de cliques, nombre stable, 3-colorabilité, ...

Certains aspects algorithmiques de la décomposition modulaire sont étudiés ici "Une étude des aspects algorithmiques de la décomposition modulaire" (M. Habib et C. Paul, Computer Science Review 4 (1): 41-59 (2010))