Le contexte.
Je vous écris sur des sujets tels que le théorème Gottesman-Knill , en utilisant des groupes de stabilisation Pauli, mais dans le cas de d -dimensionnelle qudits - où d peut avoir plus d'un facteur premier. (J'insiste sur ce point car la grande majorité de la littérature sur le formalisme des stabilisateurs dans les "dimensions supérieures" implique les cas de d prime ou d a prime power, et utilise des champs finis; je considère plutôt les groupes cycliques ℤ d .)
Pour n'importe quelle dimension, je caractérise un groupe de stabilisateurs (Pauli) comme un sous-groupe abélien du groupe Pauli, dans lequel chaque opérateur a un espace propre +1 .
J'écris sur un résultat bien connu pour d = 2 (et facilement généralisé à d prime):
Un groupe stabilisateur stabilise un état pur unique si et seulement s'il est maximal
où par maximalité, je veux dire que toute extension se situe en dehors du groupe de Pauli, ou est non abélienne, ou contient des opérateurs sans +1 valeurs propres.
Les preuves de tels résultats pour d prime reposent généralement sur le fait que ℤ d 2n est un espace vectoriel ( c'est -à- dire que ℤ d est un champ): cela ne vaut pas pour d composite. Il existe deux recours: généraliser les preuves existantes d'une manière qui résiste à l'existence de diviseurs nuls ( par exemple en utilisant des outils tels que la forme normale de Smith ), ou éviter complètement la théorie des nombres et utiliser des idées telles que les relations d'orthogonalité des opérateurs de Pauli.
Problème.
En fait, j'ai déjà une preuve concise de ce résultat, n'utilisant essentiellement que des relations d'orthogonalité des opérateurs de Pauli. Mais je soupçonne que j'ai déjà vu quelque chose comme ça auparavant, et je voudrais me référer à l'art antérieur si je peux (sans parler de voir s'il existe de meilleures techniques que celle que j'ai utilisée, qui, bien que peu onéreuses, ne semblaient pas parfaites ).
Il est certain que les articles de Knill [quant-ph / 9608048] et [quant-ph / 9608049] envisagent des sujets similaires et utilisent des techniques similaires; mais je n'ai pas pu trouver le résultat que je cherchais là-bas, ni dans [quant-ph / 9802007] de Gottesman . J'espère que quelqu'un pourra m'indiquer où une telle preuve aurait pu être publiée auparavant.
Remarque - le résultat que j'envisage n'est pas celui qui relie la cardinalité du groupe à la dimension de l'espace stabilisé (ce qui est agréable, mais trivial à prouver et à trouver des références); Je veux spécifiquement montrer que tout groupe de stabilisateurs qui ne peut pas être étendu stabilise un état unique, et vice versa. Une référence à une preuve que tout groupe stabilisateur maximal a la même cardinalité serait bien; mais encore une fois, il ne doit pas reposer sur d étant premier ou ℤ d 2n étant un espace vectoriel.