Conséquences de

En tant qu'amateur de TCS, je lis du matériel très introductif sur l'informatique quantique. Voici les quelques informations élémentaires que j'ai apprises jusqu'à présent:

1. Les ordinateurs quantiques ne sont pas connus pour résoudre des problèmes NP-complets en temps polynomial.
2. "La magie quantique ne sera pas suffisante" (Bennett et al. 1997): si vous jetez la structure du problème et considérez simplement l'espace de solutions possibles, même un ordinateur quantique a besoin d'environ étapes pour trouver la bonne (en utilisant l'algorithme de Grover)$2^n$$\sqrt{2^n}$
3. Si un algorithme de temps polynomial quantique pour un problème NP-complet est trouvé, il doit exploiter la structure du problème d'une manière ou d'une autre (sinon la puce 2 serait contredite).

J'ai des questions (basiques) que personne ne semble avoir posées jusqu'à présent sur ce site (peut-être parce qu'elles sont basiques). Supposons que quelqu'un trouve un algorithme de temps polynomial quantique d'erreur bornée pour (ou tout autre problème NP-complet), plaçant ainsi dans , et impliquant .$SAT$$SAT$$BQP$$NP \subseteq BQP$

Des questions

1. Quelles seraient les conséquences théoriques d'une telle découverte? Comment l'image globale des classes de complexité serait-elle affectée? Quelles classes deviendraient égales à quelles autres?
2. Un résultat comme celui-ci semble suggérer que les ordinateurs quantiques ont une puissance intrinsèquement supérieure aux ordinateurs classiques. Quelles seraient les conséquences d'un tel résultat sur la physique? Cela ferait-il ressortir un problème ouvert en physique? La physique serait-elle modifiée après un résultat similaire? La loi de la physique telle que nous les connaissons serait-elle affectée?
3. La possibilité (ou non) d'exploiter la structure du problème d'une manière suffisamment générale (c'est-à-dire indépendante d'une instance spécifique) semble être le cœur même de la question P = NP. Maintenant, si un algorithme quantique de temps polynomial à erreur bornée pour est trouvé, et qu'il doit exploiter la structure du problème, sa stratégie d'exploitation-structure ne serait-elle pas utilisable également dans le scénario classique? Existe-t-il des preuves indiquant qu'une telle structure-exploitation peut être possible pour les ordinateurs quantiques, tout en restant impossible pour les ordinateurs classiques?$SAT$

Je ne vais pas essayer de répondre à la première question, car quelqu'un comme Scott Aaronson, Peter Shor ou John Watrous peut sans aucun doute vous donner une réponse beaucoup plus complète à ce sujet.

En ce qui concerne la question 2, il est important de noter que les ordinateurs quantiques sont en fait plus puissants que les ordinateurs classiques dans de nombreux cas:

1. Il y a une accélération polynomiale plutôt générique acquise par les ordinateurs quantiques par rapport aux ordinateurs classiques dans un certain nombre de problèmes. Du point de vue de la complexité, c'est peut-être un peu moins intéressant qu'une accélération exponentielle, mais c'est quelque chose que nous pouvons réellement prouver.
2. La complexité de la communication quantique peut souvent varier considérablement de la complexité des communications classiques pour le même problème. Encore une fois, c'est quelque chose qui peut être prouvé (voir par exemple le jeu Mermin-GHZ).
3. Les requêtes quantiques vers les oracles sont très souvent beaucoup plus puissantes que les requêtes classiques vers le même oracle (voir par exemple l'algorithme de Deutsch-Josza).

Dans cet esprit, il est déjà connu que les ordinateurs quantiques sont fondamentalement plus puissants que les ordinateurs classiques. Je pense que j'aurais raison de dire que la majorité des physiciens qui travaillent sur de telles choses supposeraient déjà qu'il n'est pas possible de trouver un algorithme classique pour simuler efficacement chaque système quantique, et donc tout en montrant que NP était contenu dans BQP serait certainement surprenant, il ne serait pas particulièrement susceptible de fournir une percée dans la compréhension d'un phénomène physique particulier. Cela fournirait plutôt des preuves un peu plus solides que la physique quantique est difficile à simuler.

Il n'y a pas de physique fondamentale qui dépende de la complexité de calcul de sa simulation, donc trouver un algorithme quantique efficace pour un problème NP-complet n'aurait pas de conséquences fondamentales pour l'exactitude de notre compréhension actuelle du fonctionnement de l'univers (bien que je sois enclin à d'accord avec la suggestion de Scott Aaronson selon laquelle il est intéressant de voir si vous pourriez faire émerger des lois physiques à partir d'hypothèses de calcul).

Il est extrêmement tentant de dire que cela aurait des conséquences sur l'évolution adiabatique des systèmes quantiques (et je suppose que vous pourriez obtenir une réponse ou deux suggérant cela), etc., mais ce serait incorrect, car ils sont régis par un processus physique spécifique , et ainsi montrer qu'il est en principe possible de résoudre SAT en temps polynomial sur un ordinateur quantique, ne dirait rien de leur évolution spécifique.

En ce qui concerne votre dernière question, nous avons déjà des exemples où la structure du problème est exploitée pour produire un algorithme quantique polynomial, mais qui ne conduit pas à un tel algorithme classique (factorisation par exemple). Donc, dans la mesure où nous le comprenons actuellement, un problème avec une structure exploitable pour produire un algorithme quantique de temps polynomial n'implique pas que la structure est exploitable pour produire un algorithme de temps polynomial classique.

Scott Aaronson aimait souvent souligner (et aime probablement encore souligner, en supposant qu'il ne s'en lasse pas) que les processus physiques ne trouvent pas toujours le minimum global d'un paysage énergétique . En particulier, si vous deviez formuler une instance d'un problème d'optimisation complet NP comme un problème de minimisation d'énergie pour un système physique, il n'y a aucune raison - théorique ou empirique - de croire qu'un tel système physique se "relâchera" après un certain temps à une solution du problème ( c'est-à-dire  une configuration d'énergie qui est un minimum global). Il se détendra plus probablement à un minimum local: celui pour lequel des configurations légèrement différentes nécessitent plus d'énergie, mais où une configuration sensiblement différente peut avoir moins d'énergie.

Ainsi, tout en prouvant NP  ⊆  BQP serait un triomphe du premier ordre - pour tous les théoriciens de la complexité, pas seulement pour les théoriciens du calcul quantique - cela suggérerait qu'il existe une toute nouvelle théorie des modèles de calcul "physiques" qui reste à découvrir. Pourquoi? Eh bien, les modèles de calcul peuvent être interprétés comme des modèles de la physique (bien que hautement spécialisés): à savoir, quelles ressources de calcul sont physiquement raisonnables. L' un des « slogans » de calcul quantique est que Nature isn't classical, [darn] it^† - sauf si vous pouvez simuler la mécanique quantique sur un ordinateur classique, ce que vous pouvez calculer physiquement efficace est certainement plus puissant que P . Et pourtant, nous avons la preuve qu'il est moins puissant que NP; il devrait donc être moins puissant que BQP également, s'il arrivait que NP  ⊆  BQP .

Ainsi, une preuve de NP  ⊆  BQP nous présenterait un trilemme: soit

1. les circuits quantiques peuvent être simulés efficacement sur un ordinateur classique, prouvant NP  ⊆  BQP  ⊆  P , dépassant ainsi les rêves ou les cauchemars les plus fous de chaque théoricien;
2. les circuits quantiques ne peuvent pas être simulés sur un ordinateur classique, mais des ordinateurs quantiques évolutifs peuvent être construits pour résoudre les problèmes de NP , suscitant un intérêt vraiment explosif pour l'informatique quantique et garantissant aux physiciens expérimentaux une sécurité de carrière dans un avenir prévisible;
3. il y a un autre modèle de calcul à découvrir, intermédiaire entre P et BQP en puissance, qui décrit (ou plutôt, se rapproche mieux ) ce qui est efficacement calculable physiquement.

Je soupçonne que l'argent intelligent serait sur # 3, aussi amusant que # 1 ou # 2 serait d'un point de vue académique.

^†  Je m'excuse auprès de Feynman, que je soupçonne de ne pas souvent mâcher ses jurons.