Progrès sur le problème généralisé de la hauteur des étoiles?

La hauteur d'étoile (généralisée) d'une langue est l'imbrication minimale des étoiles de Kleene requise pour représenter la langue par une expression régulière étendue. Rappelons qu'une expression régulière étendue sur un alphabet fini satisfait ce qui suit:$A$

(1) et a sont des expressions régulières étendues pour tout a ∈ $\emptyset, 1$$a$$a\in A$

(2) Pour toutes les expressions régulières étendues ; E ∪ F , E F , E ∗ et E c sont des expressions régulières étendues$E,F$
$E\cup F$$EF$$E^*$$E^c$

Une formulation du problème généralisé de la hauteur des étoiles est de savoir s'il existe un algorithme pour calculer la hauteur minimale généralisée des étoiles. En ce qui concerne ce problème, j'ai quelques questions.

1. Y a-t-il eu des progrès récents (ou des intérêts de recherche) concernant ce problème? Je sais il y a quelques années que Pin Straubing et Thérien ont publié des articles dans ce domaine.

2. Le problème de hauteur d'étoile restreinte a été résolu en 1988 par Hashiguchi mais la version généralisée (à ma connaissance) est toujours ouverte. Quelqu'un at-il une intuition quant à la raison pour laquelle cela pourrait être le cas?

Un lien qui pourrait être utile est le suivant: starheight

Concernant votre deuxième question, une explication pourquoi le problème généralisé de la hauteur des étoiles est moins accessible que le problème de la hauteur des étoiles est la suivante: Déjà le papier séminal d'Eggan en 1963 contenait des langues de hauteur d'étoile (ordinaire) , pour chaque k ≥ 0 . Quelques années plus tard, McNaughton et, indépendamment, Déjean et Schützenberger, ont trouvé des exemples sur des alphabets binaires. Cela montrait clairement en quoi consistait le problème. Au cours des années qui ont suivi, il y a eu un flux plus ou moins constant de résultats publiés dans le domaine du problème de hauteur d'étoile ordinaire. Cela a donné un nombre toujours croissant d'exemples publiés, de contre-exemples et de phénomènes entourant ce problème.$k$$k\ge 0$

En revanche, après une cinquantaine d'années, nous ne savons pas s'il existe un langage régulier de la hauteur des étoiles au moins deux. Nous ne savons donc même pas si une procédure de décision est nécessaire après tout. Ce «manque total d'exemples» indique qu'il est extrêmement difficile de maîtriser ce problème.

Cette réponse est dédiée à la mémoire de Janusz (John) Antoni Brzozowski, décédé le 24 octobre 2019.

John est certainement la personne qui a rendu les problèmes de hauteur des étoiles si célèbres. En effet, lors d'une conférence à Santa Barbara en décembre 1979, il a présenté une sélection de six problèmes ouverts sur les langues régulières et a mentionné deux autres sujets dans la conclusion de son article [1]. Ces six problèmes ouverts étaient, dans l'ordre, la hauteur des étoiles, la hauteur des étoiles restreinte, la complexité des groupes, la suppression des étoiles, la régularité des classes sans comptage et l'optimalité des codes de préfixe. Les deux autres sujets étaient le problème de limitation et la hiérarchie de profondeur de points.

En juin 2015, lors d'une conférence d'une journée en l'honneur de son 80e anniversaire , j'ai présenté deux articles d'enquête résumant l'état de l'art sur ces questions [2, 3]. En particulier, vous trouverez dans [2] des informations détaillées sur les problèmes de hauteur d'étoile.

[1] JA Brzozowski, Problèmes ouverts sur les langages réguliers , dans la théorie du langage formel. Perspectives and open problems, Actes d'un colloque tenu à Santa Barbara, Californie, 10-14 décembre 1979 [, RV Book (ed.), Pp. 23–47, New York Etc .: Academic Press, une filiale de Harcourt Brace Jovanovich, éditeurs. XIII, 454 p., 1980.

[2] J.-É. Pin, Open problèmes about regular languages, 35 ans plus tard , Stavros Konstantinidis; Nelma Moreira; Rogério Reis; Jeffrey Shallit. Le rôle de la théorie en informatique - Essais dédiés à Janusz Brzozowski, World Scientific, 2017,

[3] J.-É. Pin, The dot-depth hierarchy, 45 ans plus tard . Stavros Konstantinidis; Nelma Moreira; Rogério Reis; Jeffrey Shallit. The Role of Theory in Computer Science - Essays Dedicated to Janusz Brzozowski, World Scientific, 2017.

La solution du problème restreint de la hauteur des étoiles a inspiré la riche théorie des fonctions de coût régulier (par Colcombet), qui à son tour a aidé à résoudre d'autres problèmes de décidabilité et offre de nouveaux outils pour attaquer les problèmes ouverts. Cette théorie est encore en développement et a été étendue aux mots infinis, aux arbres finis, aux arbres infinis, avec son propre ensemble de résultats profonds et de problèmes ouverts. Voici un article fondateur de la théorie et une bibliographie , du site Web de Colcombet.

Donc, même si ce n'est pas directement une application de la hauteur des étoiles généralisée, cela montre que progresser sur des problèmes apparemment inutiles tels que la hauteur des étoiles signifie probablement une meilleure compréhension des langues régulières et donnera de nouveaux résultats sur différents problèmes.

Référence: Thomas Colcombet. «La théorie des monoides de stabilisation et des fonctions de coût régulier». Dans: ICALP 2009