Frapper un ensemble de familles qui se croisent par paire

Un ensemble de frappe d'une famille est un sous-ensemble de tel que pour . Le problème pour trouver un ensemble de frappe minimum d'une famille donnée est NP-difficile en général, car il généralise le problème de couverture de vertex. Maintenant ma question est:H ⋃ n i = 1 S i H ∩ S i ≠ ∅ 1 ≤ i ≤ $\mathcal{S} = \{S_1, \dots, S_n\}$$H$$\bigcup_{i=1}^{n} S_i$$H \cap S_i \ne \emptyset$$1 \le i \le n$

Le problème d'ensemble de frappe reste-t-il NP-difficile lorsque les éléments de $\mathcal{S}$ croisent par paire?

Je m'intéresse également à la dureté approximative (ou tractabilité) de ce problème.

$S_i$ S ′ i = S i ∪ { e ′ i } S ″ i = S i ∪ { e ″ i$e_i', e_i''$$S_i' = S_i \cup \{ e_i'\}$$S_i'' = S_i \cup \{e_i''\}$

Ensuite, pour chaque paire d'ensembles dans le nouveau système (appelons-les et pour éviter toute confusion), créez un faux élément et ajoutez-le à et . De toute évidence, dans le système d'ensembles résultant, tous les ensembles se coupent par paire, mais le jeu de frappe optimal d'origine est toujours le jeu de frappe optimal pour ce nouveau système.$T_i$$T_j$$x_{ij}$$T_i$$T_j$

Sans aucune autre restriction, le problème semble aussi difficile que le problème d'origine.

BTW, prouver qu'effectivement la solution optimale n'utiliserait aucun des faux éléments n'est pas anodin. Tout d'abord, nous pouvons supposer qu'un ensemble de frappe donné pour le nouveau système ne comprend aucun ou , car sinon nous pouvons déplacer les éléments vers les éléments d'origine des ensembles et obtenir un ensemble de frappe de taille similaire. Il est légèrement plus subtil de voir pourquoi les éléments ne sont pas dans l'ensemble de frappe optimal. Comme c'est fastidieux, je voudrais simplement laisser un indice: construire un graphique reliant deux ensembles et dans le système d'origine si connecte deux ensembles dérivés de ces ensembles. Faire valoir que ce graphique dans l'ensemble de frappe minimale doit être$e_i'$$e_i''$$x_{ij}$$S_i$$S_j$$x_{ij}$$3$régulier, et en tant que tel le nombre d'arêtes qu'il contient dépasse strictement le nombre d'ensembles présents sous forme de sommets. En tant que tel, on peut trouver un ensemble de frappe plus petit pour ces ensembles.