Limiter l'écart entre la complexité quantique et déterministe des requêtes

Bien que les séparations exponentielles entre la complexité des requêtes quantiques à erreurs limitées ( ) et la complexité des requêtes déterministes ( D ( f ) ) ou la complexité des requêtes randomisées à erreurs limitées ( R ( f ) ) soient connues, elles ne s'appliquent qu'à certaines fonctions partielles. Si les fonctions partielles ont des structures spéciales, elles sont également liées polynomialement avec D ( f ) = O ( Q ( f ) 9 ) ) . Cependant, je suis principalement préoccupé par les fonctions totales.$Q(f)$$D(f)$$R(f)$$D(f) = O(Q(f)^9))$

Dans un article classique, il a été montré que est limité par O ( Q ( f ) 6 ) pour les fonctions totales, O ( Q ( f ) 4 ) pour les fonctions totales monotones et O ( Q ( f ) 2 ) pour fonctions totales symétriques. Cependant, pas plus de séparations quadratiques sont connues pour ce type de fonctions (cette séparation est obtenue par O $D(f)$$O(Q(f)^6)$$O(Q(f)^4)$$O(Q(f)^2)$$OR$par exemple). Autant que je sache, la plupart des gens supposent que pour les fonctions totales, nous avons . Dans quelles conditions cette conjecture a-t-elle été prouvée (en dehors des fonctions symétriques)? Quelles sont les meilleures limites actuelles de la complexité de l'arbre de décision en termes de complexité de requête quantique pour les fonctions totales?$D(f) = O(Q(f)^2)$

$D(f) = O(Q_E(f))^3$$Q_E(f)$$f$

$n$$\Omega(\sqrt{n})$

Bien que ces progrès aient été limités, des progrès considérables ont été accomplis pour limiter la complexité des requêtes quantiques de fonctions spécifiques ; voir cette revue pour plus de détails (ou par exemple l' article le plus récent de Reichardt, qui prouve que la version la plus générale de la borne «adversaire» caractérise la complexité des requêtes quantiques).

J'aime la réponse d'Ashley Montanaro, mais j'ai pensé que j'inclurais également un ensemble de fonctions pour lesquelles la conjecture est connue.

$OR$

$f$$D(f) = O(Q(f)^2)$

Détails:

$x$$S \subseteq \{1,...,n\}$$y$$(\forall i \in S \quad y_i = x_i) \rightarrow f(y) = f(x)$$C_x(f)$$x$$C_1(f) = \max_{x | f(x) = 1} C_x(f)$$f(x) = 0$

Vous pouvez montrer que . Ensuite , vous pouvez utiliser l'algorithme présenté dans Buhrman et de Wolf enquête pour montrer que:$Q(f) \geq \sqrt{bs(f)} \geq 2C_0(f)/2^{C_1(f)} + 1$$D(f) \leq C_1(f)bs(f) \leq C_0(f)C_1(f)$

Si nous limitons l'attention aux propriétés du graphique, nous pouvons prouver des limites légèrement améliorées par rapport aux limites générales que vous mentionnez:

Dans un article classique, il a été montré que est limité par pour les fonctions totales, pour les fonctions totales monotones et pour les fonctions totales symétriques.O ( Q ( f ) 6 ) O ( Q ( f ) 4 ) O ( Q ( f ) 2$D(f)$$O(Q(f)^6)$$O(Q(f)^4)$$O(Q(f)^2)$

Tout d'abord, je pense que la 6ème limite de puissance peut être améliorée à la 4ème puissance pour les propriétés du graphique. Cela découle de [1], où ils montrent que toute propriété de graphique a une complexité de requête au moins , où est la taille d'entrée, qui est quadratique en nombre de sommets. Bien sûr , la complexité de la requête classique est au plus .N $\Omega(N^{1/4})$$N$$N$

La 4ème puissance liée aux fonctions totales monotones peut être améliorée à la 3ème puissance pour les propriétés du graphique monotone. Cela découle d'une observation non publiée de Yao et Santha (mentionnée dans [2]) que toutes les propriétés de graphe monotone ont une complexité de requête quantique .$\Omega(N^{1/3}\log^{1/6}N)$

[1] Sun, X .; Yao, AC .; Shengyu Zhang, «Propriétés graphiques et fonctions circulaires: à quel point la complexité des requêtes quantiques peut-elle aller?», Complexité informatique, 2004. Actes. 19e conférence annuelle de l'IEEE, vol., No., Pp.286,293, 21-24 juin 2004 doi: 10.1109 / CCC.2004.1313851

[2] Magniez, Frédéric; Santha, Miklos; Szegedy, Mario (2005), «Algorithmes quantiques pour le problème du triangle», Actes du seizième symposium annuel ACM-SIAM sur les algorithmes discrets, Vancouver, Colombie-Britannique: Society for Industrial and Applied Mathematics, pp. 1109–1117, arXiv: quant -ph / 0310134.

De nombreux progrès ont été réalisés sur cette question en 2015.

Premièrement, dans arXiv: 1506.04719 [cs.CC] , les auteurs ont amélioré la séparation quadratique en montrant une fonction totale avec$f$

D'autre part, dans arXiv: 1512.04016 [quant-ph] , il a été montré que la relation quadratique entre la complexité de requête quantique et déterministe tient lorsque le domaine de la fonction est très petit.