Graphique planaire via l'intersection de gros trucs?

Il existe un beau théorème de Koebe (voir ici ) qui stipule que tout graphe planaire peut être dessiné comme un graphe de baisers de disques (très romantique ...). (Autrement dit, tout graphique plan peut être dessiné comme le graphique d'intersection des disques.)

Le théorème de Koebe n'est pas très facile à prouver. Ma question: existe-t-il une version plus facile de ce théorème où, au lieu de disques, on est autorisé à utiliser toutes les formes convexes de graisse (la convexité peut être ouverte à des négociations, mais pas de gras). Notez que chaque sommet peut avoir une forme différente.

Merci...

Précision: Pour une forme , laissez - R ( X ) le rayon de la boule englobante plus petit de X , et que r ( X ) me laisser le rayon de la plus grande boule fermée en S . La forme S est α- grasse si R ( x ) / r ( x ) ≤ α . (Ce n'est pas la seule définition de l'adiposité, BTW.)$X$$R(X)$$X$$r(X)$$S$$S$$\alpha$$R(x) /r(x) \leq \alpha$

Vous n'avez pas dit que les gros objets devaient être bidimensionnels, n'est-ce pas? Felsner et Francis prouvent que c'est toujours possible avec des cubes à axes parallèles en 3D . Mais, la preuve implique les généralisations de Schramm de Koebe-Thurston-Andreev, donc ce n'est pas exactement un résultat plus simple. Ils mentionnent également en cours de route que pour les graphiques planaires maximaux à quatre connexions, il est possible d'utiliser des triangles équilatéraux à côtés parallèles.

Si vous utilisez des triangles, cela peut être fait. Mais ce n'est peut-être pas plus facile que Koebe ...

de Fraisseix, Ossona de Mendez et Rosenstiehl. Sur les graphiques de contact triangulaires. CPC 3 (2): 233-246, 1994.

Schramm a prouvé que chaque graphe planaire est le graphe de contact d'un ensemble d'objets convexes lisses dans le plan dans sa thèse de doctorat (Princeton, 1990) en utilisant le théorème du point fixe de Brouwer.

Un bon aperçu de cela et d'autres résultats liés au théorème de Koebe est dans un sondage de Sachs .

$K_4$

Il y a un nouvel article sur l'arxiv par Duncan, Gansner, Hu, Kaufman et Kobourov sur les représentations des graphes de contact. Ils montrent que des polygones à 6 faces sont nécessaires et suffisants. Les hexagones peuvent être convexes, mais il n'était pas clair pour moi à la première lecture s'ils étaient gros aussi.

Gerd Wegner dans sa thèse de doctorat (Georg-August-Universität, Göttingen, 1967) a prouvé que tout graphique est le graphique de contact d'un ensemble de polytopes convexes tridimensionnels (mais il attribue la première preuve non publiée du résultat à Grünbaum). Ceci est une courte preuve.