L'existence d'un préservateur de distance planaire?

Soit G un graphe non orienté à n nœuds, et soit T un sous-ensemble de nœuds de V (G) appelés terminaux . Un conservateur de distance de (G, T) est un graphe H satisfaisant la propriété

pour tous les nœuds u, v dans T. (Notez que H n'est PAS nécessairement un sous-graphe de G.)

Par exemple, soit G le graphe suivant (a) et T les nœuds sur la face externe. Le graphe (b) est alors un conservateur de distance de (G, T).

Il existe une préservation de la distance avec divers paramètres. Je suis particulièrement intéressé par celui avec les propriétés suivantes:

1. G est plan et non pondéré (c'est-à-dire que toutes les arêtes de G ont un poids),
2. T a la taille $O(n^{0.5})$ , et
3. H a la taille (le nombre de nœuds et d'arêtes) . (Ce serait bien si nous avions O ( $o(n)$.)$O(\frac{n}{\log\log n})$

Existe-t-il un tel conservateur de distance?

Si l'on ne peut pas rencontrer les propriétés ci-dessus, tout type de détente est le bienvenu.

Les références:

• Préservateurs de distance par source et par paire clairsemés , Don Coppersmith et Michael Elkin, SIDMA, 2006.
• Préservateurs de distance clairsemés et clés additionnelles , Béla Bollobás, Don Coppersmith et Michael Elkin, SIDMA, 2005.
• Clés et émulateurs avec erreurs de distance sublinéaires , Mikkel Thorup et Uri Zwick, SODA, 2006.
• Lower Bounds for Additive Spanners, Emulators, and More , David P. Woodruff, FOCS, 2006.

Le conservateur de distance est également connu comme un émulateur ; de nombreux travaux connexes peuvent être trouvés sur Internet en recherchant le terme clé , qui nécessite que H soit un sous-graphique de G. Mais dans mes applications, nous pouvons également utiliser d'autres graphiques, tant que H préserve les distances entre T dans G.

De nombreuses années plus tard, il semble qu'OP ait finalement répondu à sa propre question: émulateur de distance quasi-optimal pour les graphiques planaires par Hsien-Chih Chang, Paweł Gawrychowski, Shay Mozes et Oren Weimann vient d'être publié sur l'arxiv.

$\widetilde{O}(\min\{t^2, \sqrt{tn}\})$$|T| =: t$$\widetilde{O}(n^{3/4})$$\widetilde{O}(n)$

(Sur une note moins formelle, je trouve ce résultat vraiment incroyable. Félicitations!)

vous voudrez peut-être regarder la clé de sous-ensemble planaire de Klein, qui préserve les distances jusqu'à un facteur 1 + epsilon.

Une clé de sous-ensemble pour les graphiques planaires, avec application au sous-ensemble TSP http://doi.acm.org/10.1145/1132516.1132620