Quelle est la structure la plus générale sur laquelle la vérification du produit matriciel peut être effectuée en temps ?

En 1979, Freivalds a montré que la vérification des produits matriciels sur n'importe quel champ peut être effectuée en temps randomisé . Plus formellement, étant donné trois matrices A, B et C, avec des entrées d'un champ F, le problème de vérifier si AB = C a un algorithme de temps randomisé .O ( n 2$O(n^2)$$O(n^2)$

Ceci est intéressant car l'algorithme connu le plus rapide pour multiplier les matrices est plus lent que cela, donc vérifier si AB = C est plus rapide que calculer C.

Je veux savoir quelle est la structure algébrique la plus générale sur laquelle la vérification du produit matriciel a toujours un algorithme de temps (aléatoire) . Étant donné que l'algorithme d'origine fonctionne sur tous les domaines, je suppose qu'il fonctionne également sur tous les domaines intégrés.$O(n^2)$

La meilleure réponse que j'ai pu trouver à cette question était dans les équivalences sous- cubiques entre les problèmes de chemin, de matrice et de triangle , où ils disent que "la vérification du produit de la matrice sur les anneaux peut être effectuée en temps aléatoire [BK95]." ([BK95]: M. Blum et S. Kannan. Concevoir des programmes qui vérifient leur travail. J. ACM, 42 (1): 269-291, 1995.)$O(n^2)$

Premièrement, les anneaux sont-ils la structure la plus générale sur laquelle ce problème a un algorithme randomisé $O(n^2)$ ? Deuxièmement, je ne pouvais pas voir comment les résultats de [BK95] montrent un algorithme de temps $O(n^2)$ sur tous les anneaux. Quelqu'un peut-il expliquer comment cela fonctionne?

Voici un argument rapide pour expliquer pourquoi cela fonctionne sur les anneaux. Étant donné les matrices , , , nous vérifions en choisissant un vecteur binaire aléatoire , puis en vérifiant si . Cela passe clairement si .B C A B = C v A B v = C v A B = $A$$B$$C$$A B = C$$v$$ABv = Cv$$AB = C$

Supposons et . Laissez . est une matrice non nulle pour laquelle . Quelle est la probabilité que cela se produise? Soit une entrée non nulle. Par hypothèse, . Avec une probabilité , , nous avons doncA B v = C v D = A B - C D D v = 0 D [ i ′ , j ′ ] ∑ j D $AB \neq C$$ABv = Cv$$D = AB - C$$D$$Dv = 0$$D[i',j']$1 / deux v [ j ′ ] = $\sum_{j} D[i',j] v[j] = 0$$1/2$$v[j'] = 1$

$D[i',j'] + \sum_{j\neq j'} D[i',j] v[j] = 0$ .

Tout anneau sous son opération d'addition est un groupe additif, il y a donc un inverse unique de , c'est-à-dire . Maintenant, la probabilité du mauvais événement est au plus . (Une façon de voir cela est le "principe des décisions différées": pour que la somme soit égale à , au moins un autre doit être différent de zéro. correspond à ces autres entrées non nulles. Même si nous définissons tous ces l'exception de l'un d'entre eux de manière optimale ,- D [ i ′ , j ′ ] - D [ i ′ , j ′ ] = ∑ j ≠ j ′ D [ i ′ , j ] v [ ] v [ j ] v [ j ] 0 1 - D [ i ′ , j ′$D[i',j']$$-D[i',j']$une / 2 - D [ i ′ , J ′ ] D [ i ′ , $-D[i',j'] = \sum_{j\neq j'} D[i',j] v[j]$$1/2$$-D[i',j']$$D[i',j]$$v[j]$$v[j]$$0$$1$, mais toujours une seule de ces valeurs pourrait rendre la somme finale égale à .) Donc, avec une probabilité d'au moins , nous trouvons avec succès que , lorsque est non nul. (Notez que et sont choisis indépendamment pour .)$-D[i',j']$$1/4$$Dv \neq 0$$D$$v[j]$$v[j']$$j \neq j'$

Comme vous le voyez, l'argument ci-dessus dépend de la soustraction. Donc, cela ne fonctionnera pas (par exemple) sur des semirings commutatifs arbitraires. Peut-être pourriez-vous assouplir les propriétés multiplicatives de la structure algébrique et obtenir toujours le résultat?