Théorèmes de point fixe pour les espaces métriques constructifs?

Le théorème du point fixe de Banach dit que si nous avons un espace métrique complet non vide , alors toute fonction uniformément contractive a un point fixe unique . Cependant, la preuve de ce théorème nécessite l'axiome de choix - nous devons choisir un élément arbitraire a \ dans A pour commencer l'itération de f , pour obtenir la séquence de Cauchy a, f (a), f ^ 2 (a), f ^ 3 (a), \ ldots . f : A → A μ ( f ) a ∈ A f a , f ( a ) , f 2 ( a ) , f 3 ( a ) , $A$$f : A \to A$$\mu(f)$$a \in A$$f$$a, f(a), f^2(a), f^3(a), \ldots$

1. Comment les théorèmes à virgule fixe sont-ils énoncés dans une analyse constructive?
2. Existe-t-il également des références concises aux espaces métriques constructifs?

La raison pour laquelle je demande, c'est que je veux construire un modèle de système F dans lequel les types portent en outre une structure métrique (entre autres). Il est plutôt utile que dans la théorie constructive des ensembles, nous puissions préparer une famille d'ensembles $U$ , de telle sorte que $U$ soit fermé sous les produits, les exponentielles et les familles indexées en $U$ , ce qui permet de donner facilement un modèle du système F.

Ce serait très bien si je pouvais concocter une famille similaire d'espaces ultramétriques constructifs. Mais comme l'ajout de choix à la théorie des ensembles constructifs la rend classique, je dois évidemment faire plus attention aux théorèmes à point fixe et probablement à d'autres choses aussi.

L'axiome de choix est utilisé lorsqu'il y a une collection de "choses" et que vous choisissez un élément pour chaque "chose". S'il n'y a qu'une chose dans la collection, ce n'est pas l'axiome de choix. Dans notre cas, nous n'avons qu'un seul espace métrique et nous «choisissons» un point dedans. Donc , ce n'est pas l'axiome de choix , mais l' élimination des quantificateurs existentiels, à savoir, nous avons une hypothèse et on dit "soit x ∈ A tel que ϕ ( x ) ". Malheureusement, les gens disent souvent "$\exists x \in A . \phi(x)$$x \in A$$\phi(x)$ $x \in A$ ", qui ressemble alors à l'application de l'axiome de choix.$\phi(x)$

Pour référence, voici une preuve constructive du théorème du point fixe de Banach.

Théorème: Une contraction sur un espace métrique complet habité a un point fixe unique.

Preuve. Supposons que est un espace métrique complet habité et f : M → M est une contraction. Parce que f est une contraction, il existe α tel que 0 < α < 1 et d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ α ⋅ d ( x , y ) pour tout x , y ∈ $(M,d)$$f : M \to M$$f$$\alpha$$0 < \alpha < 1$$d(f(x), f(y)) \leq \alpha \cdot d(x,y)$$x, y \in M$.

Supposons que et v soient des points fixes de f . On a alors d ( u , v ) = d ( f ( u ) , f ( v ) ) ≤ α d ( u , v ) d'où il résulte que 0 ≤ d ( u , v ) ≤ ( α - 1 ) d ( u , v ) $u$$v$$f$

$$d(u,v) = d(f(u), f(v)) \leq \alpha d(u,v)$$ , donc d ( u , v ) = 0 et u = v . Cela prouve que f a au plus un point fixe.$0 \leq d(u,v) \leq (\alpha - 1) d(u,v) \leq 0$$d(u,v) = 0$$u = v$$f$

Reste à prouver l'existence d'un point fixe. Parce que est habité il existe x 0 ∈ M . Définissez récursivement la séquence ( x i ) par x i + 1 = f ( x i ) . Nous pouvons prouver par induction que d ( x i , x i + 1 ) ≤ α i ⋅ d ( x 0 , x 1 ) . Il en résulte que$M$$x_0 \in M$$(x_i)$

$$x_{i+1} = f(x_i).$$ $d(x_i, x_{i+1}) \leq \alpha^i \cdot d(x_0, x_1)$ est une séquence de Cauchy. Parce que M est complet, la séquence a une limite y = lim i x i . Puisque f est une contraction, elle est uniformément continue et donc elle commute avec des limites de séquences: Ainsiest un point fixe de. QED$(x_i)$$M$$y = \lim_i x_i$$f$y $$f(y) = f(\lim_i x_i) = \lim_i f(x_i) = \lim_i x_{i+1} = \lim_i x_i = y.$$ $y$$f$

Remarques:

1. J'ai pris soin de ne pas dire "choisissez " et "choisissez ". Il est courant de dire de telles choses, et elles ne font qu'ajouter à la confusion qui empêche les mathématiciens ordinaires de pouvoir dire ce qui est et n'est pas l'axiome de leur choix.x $\alpha$$x_0$

2. Dans l'uniformité de la preuve, les gens supposent souvent inutilement qu'il y a deux points fixes différents et dérivent une contradiction. De cette façon, ils ont seulement réussi à prouver que si et sont des points fixes de alors . Alors maintenant, ils ont besoin d'un milieu exclu pour arriver à . Même pour les mathématiques classiques, cela n'est pas optimal et montre simplement que l'auteur de la preuve n'exerce pas une bonne hygiène logique.v f ¬ ¬ ( u = v ) u = $u$$v$$f$$\lnot\lnot (u = v)$$u = v$

3. Dans la partie existence de la preuve, la séquence dépend du témoin existentielx $(x_i)$$x_0$$\exists x \in M . \top$$x_0$$M$

4. $M$$\exists x \in M . \top$$M$$\lnot\forall x \in M . \bot$

5. $\mathrm{fix}_M$$M$$M$$\forall\exists$

6. Enfin, les théorèmes à virgule fixe suivants ont des versions constructives:

   • Théorème de virgule fixe de Knaster-Tarski pour les cartes monotones sur des réseaux complets
   • Théorème de Banach à virgule fixe pour les contractions sur un espace métrique complet
   • Théorème à point fixe de Knaster-Tarski pour les cartes monotones sur dcpos (prouvé par Pataraia)
   • Divers théorèmes à virgule fixe dans la théorie des domaines ont généralement des preuves constructives
   • Le théorème de récursivité est une forme de théorème à virgule fixe et il a une preuve constructive
   • J'ai prouvé que le théorème de Knaster-Tarski à point fixe pour les cartes monotones sur des posets à chaîne complète n'a pas de preuve constructive. De même, le théorème de virgule fixe de Bourbaki-Witt pour les cartes progressives sur des posets à chaîne complète échoue de manière constructive. Le contre-exemple pour le dernier vient des topos effectifs: dans les ordinaux topos effectifs (convenablement définis) forment un ensemble et les cartes successives sont progressives et n'ont pas de points fixes. Soit dit en passant, la carte du successeur sur les ordinaux n'est pas monotone dans les topos effectifs.

C'est un peu plus d'informations que vous n'en avez demandé.