Existence de

10

Considérez le problème de l'ensemble dominant dans les graphiques généraux, et soit le nombre de sommets dans un graphique. Un algorithme d'approximation gourmand donne une garantie d'approximation du facteur , c'est-à-dire qu'il est possible de trouver en temps polynomial une solution telle que , où est la taille d'un ensemble dominant minimum. Il y a des limites montrant que nous ne pouvons pas améliorer la dépendance à l'égard de beaucoup $n$ $1 + \log n$ $S$ $|S| \leq (1 + \log n) opt$ $opt$ $\log n$ http://www.cs.duke.edu/courses/spring07/cps296.2/papers/p634-feige.pdf .

Ma question: existe-t-il un algorithme d'approximation qui a une garantie en termes de au lieu de ? Dans les graphiques où est très importante par rapport à l'optimum, un Factor- approximation serait bien pire qu'un facteur approximation. Est-ce que quelque chose comme ça est connu, ou y a-t-il des raisons pour lesquelles cela ne peut pas exister? Je suis satisfait de tout algorithme polynomial qui produit une solution telle que pour une constante $opt$ $n$ $n$ $\log n$ $\log opt$ $S$ $|S| \in O(opt^c)$ $c$ .

cc.complexity-theory approximation-algorithms approximation-hardness

— Bart Jansen
source

14

Je pense qu'il est toujours ouvert si Dominating Set ou Hitting Set ont une approximation af (OPT) pour une fonction (non triviale) f. Cela devrait être une question très difficile (et peut-être profonde) à laquelle répondre. Je la considère comme la question la plus intéressante en approximation paramétrée (avec la question analogue pour Clique). Vous voudrez peut-être jeter un œil à mon sondage [1] qui en discute. Notez qu'il est montré dans l'article plus récent [2] que "la satisfiabilité du circuit monotone pour les circuits de trame-2", un problème qui est plus général que l'ensemble dominant, n'a pas d'approximation f (OPT) pour tout f.

[1] D. Marx. Algorithmes de complexité et d'approximation paramétrés. The Computer Journal, 51 (1): 60-78, 2008.

[2] D. Marx. Problèmes paramétrés monotone et antimonotone totalement inapproximables. Dans les actes de la 25e conférence annuelle de l'IEEE sur la complexité informatique, Cambridge, Massachusetts, 181-187, 2010.

— Daniel Marx
source

Merci pour les références! Cela répond bien à ma question.

— Bart Jansen

Il peut également être intéressant de regarder la note suivante de Nelson qui montre que l'on ne peut pas obtenir de bons rapports qui ne dépendent que du nombre d'ensembles. eccc.hpi-web.de/eccc-reports/2007/TR07-105/revisn01.pdf

— Chandra Chekuri

2

Cela devrait être un commentaire, car il ne répond pas directement à votre question, mais à une question connexe. Peut-être qu'une astuce similaire de [1] vous fournira une réponse.

Dans [1], ce qui suit est prouvé:

$G=(V,E)$ $k$ $k$ $G$ $g(k)$ $g(k)$ $k$ $G$ $k$

$g(k)$

[1] Rodney G. Downey, Michael R. Fellows, Catherine McCartin et Frances Rosamond. "Approximation paramétrée des problèmes d'ensemble dominants". Lettres de traitement de l'information, volume 109, numéro 1, décembre 2008.

— Ruub
source

1

L'astuce dans [1] est basée sur le fait que l'ensemble dominant indépendant en tant que problème de maximisation n'est pas monotone: un sous-ensemble d'une solution réalisable n'est pas nécessairement une solution réalisable (ce qui est généralement le cas pour les problèmes de maximisation ayant des approximations significatives). Par conséquent, il est très possible que chaque solution réalisable ait la même taille, rendant l'approximation non pertinente.

— Daniel Marx