Quelles sont les difficultés profondes pour passer des graphiques aux hypergraphes?

Il existe de nombreux exemples en combinatoire et en informatique où nous pouvons analyser un problème de théorie des graphes mais pour l'analogue hypergraphique du problème, nos outils font défaut. Pourquoi pensez-vous que les problèmes deviennent souvent beaucoup plus difficiles avec les hypergraphes à 3 uniformes qu'avec les graphiques à 2 uniformes? Quelles sont les difficultés profondes?

Un problème est que nous n'avons pas encore une compréhension satisfaisante de la théorie de l'hypergraphe spectral. N'hésitez pas à faire la lumière sur ce problème. Mais je cherche aussi d'autres raisons qui rendent les hypergraphes des objets plus difficiles.

Dans cette question, je comprends que «difficulté» ne se réfère pas à «difficile à calculer», mais à «difficile à étudier».

Les problèmes de graphes sont plus faciles (du moins pour moi) à étudier car certains concepts sont équivalents. En d'autres termes, si vous voulez généraliser les questions pour les graphiques à celles pour les hypergraphes, vous devez faire attention à la "bonne" généralisation afin que la conséquence souhaitée puisse être obtenue.

Par exemple, considérons un arbre. Pour les graphiques, un graphique est un arbre s'il est connecté et ne contient aucun cycle. Cela équivaut à être connecté et à avoir n-1 arêtes (où n est le nombre de sommets), et équivaut également à ne pas contenir de cycle et à avoir n-1 arêtes. Cependant, pour les hypergraphes à 3 uniformes, disons qu'un hypergraphe à 3 uniformes est un arbre s'il est connecté et ne contient aucun cycle. Mais cela n'équivaut pas à être connecté et à avoir n-1 hyper-bords, ni à ne contenir aucun cycle et à avoir n-1 hyper-bords.

J'ai entendu une difficulté majeure à prouver que le lemme de régularité des hypergraphes uniformes était de trouver les bonnes définitions de la régularité et des concepts connexes.

Lorsque vous voulez considérer la "théorie de l'hypergraphe spectral", vous pouvez essayer de regarder dans les tenseurs, ou dans l'homologie si vous voyez un hypergraphe uniforme k comme un complexe simplicial (k-1) -dimensionnel, d'où l'algèbre linéaire naît naturellement. Je ne sais pas quelle est la "bonne" généralisation pour votre objectif, ou il est possible que ni l'un ni l'autre n'ait raison.

Je pense que cela est en grande partie dû au "pouvoir mystique de la dualité" de Lawler (l'observation que de nombreux problèmes paramétrés sont en P pour param = 2 et NP-complet pour param≥3). Un graphe est une chose qui relie 2-tuples de sommets, et un hypergraphe est une chose qui relie k-tuples de sommets pour k≥3.

Ainsi, par exemple, 2-SAT est dans P, et est essentiellement un problème de graphe, tandis que 3-SAT est un problème sur les hypergraphes à 3 uniformes et est NP-complet.

Une autre raison serait que nous avons beaucoup plus de connaissances en relations binaires que toute autre relation n-aire pour n supérieur à 2.

Naturellement, nous considérons les relations binaires entre les objets, comme la contiguïté, l'intersection non vide, l'équivalence, etc. Nous pouvons donc définir des graphiques en termes de relations binaires, et même définir un graphique basé sur une relation binaire sur un autre graphique. (Par exemple, graphiques linéaires, arbres cliques, décompositions d'arbres ...)

Mais comme pour les autres relations n-aires, nous n'avons pas beaucoup de compréhension. Par exemple, il faut un certain temps pour trouver une relation ternaire intéressante; (D'accord, en partie à cause de mon ignorance) les propriétés sont plus faibles et les outils sont beaucoup moins importants dans l'étude des relations ternaires. (Comment définissons-nous les relations ternaires symétriques ou transitives ? Les deux sont parmi les relations les plus importantes que l'on puisse étudier.)

Mais je ne sais toujours pas pourquoi cela se produit entre les relations binaires et ternaires. Peut-être, comme l'a dit la Turquie, cette question est difficile et peut être liée à la compréhension du problème P / NP.

J'allais d'abord répondre à la mauvaise question: "quels exemples de problèmes sont beaucoup plus difficiles dans les hypergraphes que dans les graphiques". J'ai été particulièrement impressionné par la différence dans le traitement du problème de correspondance maximale dans les graphiques, et la même chose avec les hypergraphes (un ensemble d'arêtes disjointes par paire), qui peuvent très facilement modéliser la coloration, l'ensemble indépendant max, la clique max ...

Ensuite, j'ai remarqué que ce n'était pas votre question: "quelles sont les difficultés profondes entre les deux?".

Eh bien, à celui-là, je répondrais que jusqu'à présent, je n'ai pas vu beaucoup de points communs entre les graphiques et les hypergraphes. Sauf le nom lui-même. Et le fait que beaucoup de gens essaient "d'étendre" les résultats du premier à l'autre.

J'ai eu l'occasion de feuilleter les pages des "Hypergraphes" de Berge et des "Set sets" de Bollobas: ils contiennent de nombreux résultats savoureux, et ceux que je trouve les plus intéressants ont peu à dire sur les graphiques. Par exemple le théorème de Baranyai (il y a une belle preuve dans le livre de Jukna).

Je n'en connais pas beaucoup, mais je pense à un problème d'hypergraphe en ce moment et tout ce que je peux en dire, c'est que je ne sens aucun graphique se cacher quelque part. Peut-être que nous les considérons comme "difficiles" parce que nous essayons simplement de les étudier avec les mauvais outils. Je ne m'attends pas à ce que les problèmes de graphes sur lesquels je travaille disparaissent immédiatement en utilisant la théorie des nombres (même si cela arrive parfois).

Oh, et autre chose. Ils sont peut-être plus difficiles à étudier car ils sont beaucoup plus combinatoires .... plus?!

«Essayez-les tous et voyez quand ça marche» est parfois une bonne idée pour les graphiques, mais avec les hypergraphes, il est rapidement humilié par les chiffres. :-)