Cette langue est-elle reconnaissable par une MT à 3 symboles en O (n log n)?

Je jouais avec la question très intéressante et toujours ouverte " Alphabet of single-tape Turing machine " (par Emanuele Viola) et j'ai trouvé la langue suivante:

$L = \{ x \in \{0,1\}^n \text{ s.t. } |x| = n = 2^m \text{ and } count1(x) = k * m; \; n,m,k \geq 1 \}$

où est le nombre de s dans la chaîne x. $count1(x)$ $1$

Par exemple, si x = 01101111 alors n = 8, m = 3, k = 2; donc $x \in L$

L peut-il être reconnu par une machine de Turing avec une seule bande et un alphabet à 3 symboles en étapes ? $\{ \epsilon, 0, 1 \}$ $O(n \log{n})$

Si nous utilisons 4 symboles, la réponse est oui:

vérifier si remplaçant s par et s par $|x|=2^m$ $0$ $\epsilon$ $1$ $2$ et en même temps stocker s à droite; $m$ $1$
compter ensuite le nombre de s modulo dans . $2$ $m$ $O(n \log{n})$

Par exemple:

....01101111....... input x  (|x| = 8 = 2^3)
000.021.1212.0001.. div 2, first sweep (000. can safely be used as a delimiter)
000.022.1222.00011. div 2, second sweep
000.022.2222.000111 div 2, third sweep --> m = 3 (= log(n) )
000..22.2222....111 cleanup (original 1s are preserved as 2)
000..22.2221102.... start modulo m=3 calculation
000..22.2210022.... mod 3 = 2
000..22.2000222.... mod 3 = 0
000..22.0012222.... mod 3 = 1
000..20112.2222.... mod 3 = 2
000..11122.2222.... ACCEPT

cc.complexity-theory turing-machines time-complexity

— Marzio De Biasi
source

est le nombre naturel représenté par

que

est toujours égal à

et donc

| x | = n = 2^{m}

$\vert x \vert = n = 2^m$

x

$x$

c o u n t 1 (x)

$count1(x)$

1

$1$

L = {10}

$L = \lbrace 10 \rbrace$

— Marc Bury

Désolé | x | signifie la longueur de la chaîne x. Un exemple: x = 01101111, n = 8, m = 3, k = 2, et donc

x \in L

$x \in L$

— Marzio De Biasi

Soit dit en passant, c'est un excellent candidat pour la question d'Emanuele, car elle est dans

: elle n'est pas régulière par le lemme de pompage, donc ne peut pas être

, mais c'est

Θ (n \log n)

$\Theta(n \log n)$

o (n \log n)

$o(n \log n)$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— Joshua Grochow

Ne pouvez-vous pas utiliser la même idée que celle que vous avez pour le cas de 4 symboles , avec les modifications suivantes:

Traitez toujours une paire de symboles simultanément.
$(00, 01, 10, 11) \mapsto (\epsilon0, \epsilon1, 0\epsilon, 1\epsilon)$ $\epsilon\epsilon$
Utilisez une astuce similaire pour les étapes du "mod 2".

$O(1)$

— Jukka Suomela
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Tu as raison! ... maintenant je soupçonne que la réponse à la question d'Emanuele est oui ... mais elle est toujours ouverte donc ce n'est probablement pas trop facile de le prouver formellement :-( Merci!

— Marzio De Biasi