Des problèmes géométriques NP-complets dans

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Un certain nombre de problèmes géométriques sont faciles à prendre en compte dans , mais sont NP-complets dans pour (y compris l'un de mes problèmes préférés, le cache du disque de l'unité). $R^1$ $R^d$ $d\geq2$

Est-ce que quelqu'un connaît un problème qui peut être résolu à tout moment pour et , mais NP-complet pour ? $R^1$ $R^2$ $R^d,d\geq3$

Plus généralement, existe-t-il des problèmes NP-complets pour mais poly-solvables pour , où ? $R^k$ $R^{k-1}$ $k\geq3$

cc.complexity-theory reference-request cg.comp-geom

— Bob Fraser
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La correspondance tridimensionnelle est -elle géométrique?

— Jukka Suomela

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pas vraiment. la "3 dimensions" est au sens cartésien, pas euclidien.

— Suresh Venkat

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Définir la couverture par demi-espaces.

Étant donné un ensemble de points dans le plan, un ensemble de demi-plans calculant le nombre minimal de demi-plans couvrant les ensembles de points peut être résolu en temps polynomial dans le plan. Le problème est cependant NP dur en 3D (il est plus difficile que de trouver une couverture minimale par un sous-ensemble de disques de points en 2D). En 3d, vous recevez un sous-ensemble de demi-espaces et de points, et vous recherchez un nombre minimal de demi-espaces couvrant les points.

L'algorithme polytime en 2d est décrit ici: http://valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/08/expand_cover/

— Sariel Har-Peled
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Je suis un peu gêné de ne pas connaître ce résultat, compte tenu de la proximité des problèmes sur lesquels je travaille :-) C'est aussi exactement le type de réponse que j'espérais. Quand vous dites que c'est plus difficile que la couverture de disque en 2D, vous voulez dire que c'est APX-hard?

— Bob Fraser

1

Le problème en 2D est polynomial. L'autre est NP-Hard. Cependant, je ne pense pas que le problème de la 3D soit difficile à résoudre avec APX. Il y a de bonnes raisons de croire qu'un PTAS pourrait être possible, via la recherche locale ...

— Sariel Har-Peled

... et par plus fort, je voulais dire que le problème du disque pouvait être résolu (réduit) au problème des demi-espaces en 3D.

— Sariel Har-Peled

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Ce n'est pas tout à fait ce que vous demandez, car la version 3D est encore plus dure que NP-complete, mais: Trouver le chemin le plus court entre deux points parmi les obstacles polygonaux du plan se fait en temps polynomial (plus simplement, construisez le graphe de visibilité des deux terminaux). et les sommets des polygones et appliquent Dijkstra; il existe également un algorithme plus compliqué O (n log n) dû à Hershberger et Suri, SIAM J. Comput. 1999), mais trouver le chemin le plus court parmi les obstacles polyédriques en 3D et Reif, FOCS 1987).

— David Eppstein
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Êtes-vous sûr du cas planaire? Les algorithmes que vous citez exigent fondamentalement une arithmétique exacte! cstheory.stackexchange.com/questions/4034/…

— Jeff E

Er. Bon point. Et je ne peux pas en sortir en disant d'utiliser des nombres à virgule flottante et approximative, car le problème 3D peut être bien approché. Oops. Je suppose qu'il existe un sens "arithmétique exacte exacte" dans lequel l'un est polynomial et l'autre est difficile, mais vous avez raison, c'est une autre façon de ne pas répondre à la question.

— David Eppstein

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C'est vraiment intéressant. Le problème de la somme des racines carrées se mêle à un certain nombre de problèmes de GC où le problème serait facile, à l’exception de ce détail. C’est formidable d’une certaine manière, car c’est l’un de ces problèmes qui doit convaincre les gens que c’est difficile. Merci pour les pointeurs.

— Bob Fraser

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Tout polygone non convexe dans le plan peut être triangulé en temps O (n) sans points de Steiner; c'est-à-dire que chaque sommet de la triangulation est un sommet du polygone. De plus, chaque triangulation a exactement n-2 triangles.

Cependant, déterminer si un polyèdre non convexe dans R ^ 3 peut être triangulé sans points de Steiner est NP-complet. Le résultat de la dureté NP est valable même si une triangulation avec un point de Steiner vous est donnée . Par conséquent, même approximer le nombre minimum de points de Steiner requis est NP-difficile. [Jim Ruppert et Raimund Seidel. Sur la difficulté de trianguler des polyèdres non convexes tridimensionnels. Discrete Comput. Geom. 1992.]

Si le polyèdre donné est convexe, trouver une triangulation est facile, mais trouver la triangulation avec le nombre minimum de tétraèdres est NP-difficile. [Alexander Below, Jesús de Loera et Jürgen Richter-Gebert. La complexité de la recherche de petites triangulations de 3-polytopes convexes . J. Algorithms 2004.]

— Jeffε
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2

Merci pour les indications, Jeff. En particulier, je pense que le dernier résultat que vous mentionnez est intéressant. Il est un peu surprenant que dans le plan, le nombre de simplices qui composent le polygone soit une constante, mais que cela ne se vérifie plus dans les dimensions les plus élevées et qu’il est en fait difficile à optimiser. C'est exactement le genre de réponse que j'espérais.

— Bob Fraser

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Le problème de réalisabilité pour -dimensionnelle polytopes est un candidat. Lorsque , il est résoluble en temps polynomial (selon le théorème de Steinitz ), mais lorsque $d$ $d \le 3$ $d \ge 4$ , ceci est NP-difficile. Pour plus d'informations, veuillez consulter "Les espaces de réalisation de 4 polytopes sont universels " de Richter-Gebert et Ziegler (il existe également une version arxiv ), ainsi que le livre " Lectures on Polytopes " (2e impression) de Ziegler.

— Yoshio Okamoto
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2

Plus précisément que dire que c'est NP-difficile, c'est complet pour

, la théorie existentielle des nombres réels.

\exists R

$\exists\mathbb{R}$

— David Eppstein

Je n'avais pas vu ce problème auparavant, merci.

— Bob Fraser

Encore une fois, comme la réponse de David Eppstein, plus difficile (probablement) que NP-complete.

— Peter Shor

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Décider si un espace métrique est incorporable de manière isométrique dans R ^ 2 est facile. Cependant, il est difficile de décider pour l’embeddabilité R ^ 3.

L' intégration dans est facile, l' intégration dans est NP-complet. Jeff Edmonds. SODA 2007 $\ell_\infty^2$ $\ell_\infty^3$

Papier

— Zouzias
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C'est aussi un bon exemple.

— Suresh Venkat

-2

Cette réponse ne répond pas exactement à votre question, mais elle a des liens plus petits. Plutôt que de répondre pour et , je vous montre que cela existe en et $R^2$ $R^3$ $Z^2$ $Z^3$ .

$k = 2$ $Z^2$ $Z^k$ $k > 2$

— Kaushik Shankar
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qu'est-ce que cela signifie de dire que 2SAT est "dans" R ^ 2?

— Suresh Venkat

@Suresh 2-satisfiability (abrégé en 2-SAT ou seulement 2SAT) est le problème qui consiste à déterminer si un ensemble de variables à deux valeurs (booléennes ou binaires) avec des contraintes sur des paires de variables peut recevoir des valeurs satisfaisant toutes les contraintes. (C'est de Wikipedia) Puisqu'il s'agit d'un problème résolu pour un ensemble de variables à 2 valeurs, les variables peuvent être considérées comme commençant "dans"

R^{2}

R^{2}

$R^2$ .

— Kaushik Shankar

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-1: Je ne vois pas comment 2SAT est dans R ^ 2. Je ne vois pas comment 2SAT est un "problème géométrique".

— Robin Kothari

Je m'excuse de ne pas avoir présenté de problème géométrique, mais bien que le titre pose des questions sur les problèmes géométriques, les deux questions dans les commentaires ne spécifient pas qu'il est géométrique. De plus, la satisfiabilité 2 a une représentation graphique connue sous le nom d’adéquation à 2 dimensions, c’est-à-dire en P, où la satisfabilité à 3 correspond à l’appariement à 3 dimensions, qui est NP.

— Kaushik Shankar

@Robin Je suis allé de l'avant et clarifié dans mon commentaire d'origine.

— Kaushik Shankar