LP relaxation de l'ensemble indépendant

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J'ai essayé la relaxation LP suivante de l'ensemble indépendant maximum

max \sum_{i} x_{i}

$\max \sum_i x_i$

s.t. x_{i} + x_{j} \leq 1 \forall (i, j) \in E

$\text{s.t.}\ x_i+x_j\le 1\ \forall (i,j)\in E$

x_{i} \geq 0

$x_i\ge 0$

J'obtiens $1/2$ pour chaque variable pour chaque graphique non bipartite cubique que j'ai essayé.

Est-ce vrai pour tous les graphes cubiques non bipartites connectés?
Existe-t-il une relaxation LP qui fonctionne mieux pour ces graphiques?

Mise à jour 03/05 :

Voici le résultat d'une relaxation LP basée sur une clique suggérée par Nathan

J'ai résumé les expériences ici. Fait intéressant, il semble y avoir quelques graphiques non bipartites pour lesquels la relaxation LP la plus simple fait partie intégrante.

graph-theory co.combinatorics linear-programming

— Yaroslav Bulatov
source

La solution n'est certainement pas unique. Dans un graphe bipartite cubique, vous pouvez avoir une solution optimale avec dans une partie et dans l'autre partie.

x_{i} = 1 / 2

$x_i = 1/2$

x_{i} = 1

$x_i = 1$

x_{i} = 0

$x_i = 0$

— Jukka Suomela, le

1

Désolé, j'ai raté une partie importante, je ne considère que les graphiques cubiques non bipartites. Chaque graphique cubique bipartite que j'ai essayé avait une solution intégrale

— Yaroslav Bulatov

Vous devez également ajouter "connecté" si vous souhaitez éviter les solutions non uniques.

— Jukka Suomela

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(1) Vous avez oublié d'écrire les contraintes de non négativité. (2) Pour les graphes bipartis, la valeur optimale de cette relaxation LP est toujours égale à la taille maximale d'un ensemble indépendant. Il s'agit d'un corollaire immédiat du théorème de König .

— Tsuyoshi Ito,

2

@Yaroslav: Une question secondaire: comment dessinez-vous ces graphiques?

— Tim

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Les graphes cubiques connectés non bipartites ont la solution optimale unique ; dans un graphique cubique bipartite, vous avez une solution optimale intégrale. $x_i = 1/2$

Preuve: dans un graphe cubique, si vous additionnez toutes les contraintes , vous avez , et donc l'optimum est au plus . $3n/2$ $x_i + x_j \le 1$ $\sum_i 3 x_i \le 3n/2$ $n/2$

La solution pour tout est trivialement réalisable, et donc aussi optimale. $x_i = 1/2$ $i$

Dans un graphique cubique bipartite, chaque partie a la moitié des nœuds, et la solution dans une partie est donc également optimale. $x_i = 1$

Toute solution optimale doit être serrée, c'est-à-dire que nous devons avoir et donc pour chaque bord . Ainsi, si vous avez un cycle impair, vous devez choisir pour chaque nœud du cycle. Et puis si le graphe est connecté, ce choix se propage partout. $\sum_i 3 x_i = 3n/2$ $x_i + x_j = 1$ $\{i,j\}$ $x_i = 1/2$

— Jukka Suomela
source

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Comme je l'ai écrit dans un commentaire sur la question, vous n'avez besoin que du bipartisme pour prouver l'existence d'une solution optimale intégrale (mais cela nécessite une preuve différente de la vôtre).

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: Oui, le théorème de König est bon à garder à l'esprit. Par exemple, avec l'observation ci-dessus, cela montrera que tout graphique cubique bipartite a une factorisation 1 (c'est-à-dire qu'il peut être partitionné en trois correspondances parfaites). Bien sûr, c'est la "mauvaise" façon de prouver ce résultat, mais je pense qu'il démontre bien la puissance du théorème de König - si vous vous souvenez juste du théorème de König, il y a beaucoup de résultats classiques en théorie des graphes que vous pouvez ensuite réinventer facilement .

— Jukka Suomela

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Ce LP est à moitié intégrale pour tous les graphes, c'est-à-dire qu'il existe une solution optimale telle que chaque variable est en {0,1 / 2,1}. Il découle simplement d'un théorème de Nemhauser et Trotter. Bien entendu, la même conclusion de demi-intégrité s'ensuit pour la LP du problème du complément (vertex cover). Lorsque le graphique est bipartite, la solution est intégrale. Il découle simplement du théorème de coupe minimale du débit max ou du travail avec des solutions ponctuelles extrêmes de ce LP. De plus, les 1/2 bords forment un cycle impair.

Bien sûr, ce LP n'est pas bon pour résoudre le problème IS. L'ajout de contraintes Clique ou SDP est une bien meilleure approche.

Emballages de sommets: propriétés structurelles et algorithmes GL Nemhauser et Trotter-Math. Programme., 1975

— Mohit Singh
source

À droite, voir également le théorème 5.6 de cet article pour un algorithme très simple qui trouve efficacement une solution semi-intégrale.

— Jukka Suomela

LP avec contraintes Clique a résolu environ 50% de graphiques supplémentaires dans l'ensemble ci-dessus .... où puis-je trouver la formulation SDP?

— Yaroslav Bulatov

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La thèse de doctorat de Sergiy Butenko de 2003 passe en revue d'autres relaxations LP de MIS, ainsi que quelques relaxations quadratiques.

— Suresh Venkat
source

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$K_4$

C'est ce qu'on appelle le numéro de jeu indépendant fractionnaire. Vous y trouverez des informations: http://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_coloring ou dans le livre "Fractional graph theory" de Daniel Ullman et Edward Scheinerman ( http://www.ams.jhu.edu/~ers / fgt / ).

$K_k$

Nathann

(*) ceci étant dit, vous avez théoriquement une différence arbitrairement grande entre le résultat optimal dans le LP où toutes les cliques sont représentées et l'ensemble indépendant optimal

— Nathann Cohen
source

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k

$k$

(k + 1)

$(k+1)$

x_{i} = 1 / k

$x_i = 1/k$

i

$i$

intéressant, cela semble être lié à la facilité d'IndependentSet dans les graphiques d'accords

— Yaroslav Bulatov

J'ai fait quelques expériences, et la solution de cette relaxation LP était toujours intégrale dans les graphes d'accords

— Yaroslav Bulatov

1

@YaroslavBulatov Il y a une raison à votre observation. Les inégalités de clique et les limites de non-négativité fournissent la coque convexe des ensembles indépendants si et seulement si le graphique est parfait. Les graphiques en accords sont parfaits.

— Austin Buchanan