À quelle vitesse peut-on résoudre un programme linéaire entier totalement unimodulaire?

(Il s'agit d'un suivi de cette question et de sa réponse .)

J'ai le programme linéaire d'entier (ILP) totalement unimodulaire (TU) suivant. Ici sont tous des entiers positifs donnés dans le cadre de l'entrée. Un sous-ensemble spécifié des variables x i j est mis à zéro, et le reste peut prendre des valeurs intégrales positives:$\ell,m,n_{1},n_{2},\ldots,n_{\ell},c_{1},c_{2},\ldots,c_{m},w$$x_{ij}$

Minimiser

$\sum_{j=1}^{m}c_{j}\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}$

Sujet à:

$\sum_{j=1}^{m}x_{ij}=n_{i}\,\,\forall i$

$\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}\ge w\,\,\forall j$

La matrice des coefficients de la forme standard est une matrice avec des entrées de - 1 , 0 , 1 .$(2\ell+m)\times \ell m$${-1,0,1}$

Ma question est:

Quelles sont les meilleures limites supérieures connues pour la durée de fonctionnement des algorithmes à temps polynomial qui résolvent un tel ILP? Pourriez-vous m'indiquer quelques références à ce sujet?

J'ai fait quelques recherches, mais dans la plupart des endroits, ils s'arrêtent pour dire qu'un ILP TU peut être résolu en temps polynomial en utilisant des algorithmes polynomiaux pour LP. Une chose qui semblait prometteuse est un article de 1986 de Tardos [1] où elle prouve que de tels problèmes peuvent être résolus en polynôme temporel dans la taille de la matrice des coefficients. Pour autant que je puisse comprendre à partir du document, cependant, le temps d'exécution de cet algorithme dépend à son tour du temps d'exécution d'un algorithme à temps polynomial pour résoudre LP.

Connaît-on des algorithmes qui résolvent ce cas spécial (de TU ILP) beaucoup plus rapidement que les algorithmes généraux qui résolvent le problème LP?

Si non,

Quel algorithme pour LP résoudrait un tel ILP le plus rapidement (dans un sens asymptotique)?

[1] Un algorithme fortement polynomial pour résoudre des programmes linéaires combinatoires, Eva Tardos, Operations Research 34 (2), 1986

Je crois que sur une classe de matrices totalement unimodulaires , par Yannakakis, donne une réponse à votre question pour un cas spécial de TU ILP (chaque fois qu'il n'y a pas de cycles impairs dans un graphe bipartite obtenu en voyant la matrice de coefficients comme une matrice d'adjacence).

Dans cet article, il y a une référence aux algorithmes polynomiaux pour une classe de programmes linéaires , qui semble gérer toutes les matrices totalement unimodulaires, mais je ne sais pas à quel point il est plus efficace que les algorithmes génériques pour LP.

$O([n^3/\ln n]L)$

Il a été démontré qu'un LP totalement unimodulaire est résoluble en temps fortement polynomial sous une "hypothèse de dégénérescence" - lien ici (donc si l'ILP a une formulation totalement unimodulaire (TU) avec les mêmes hypothèses alors cet algorithme résoudrait un TU ILP, en temps polynomial fort. Ceci est un développement des méthodes de Tardos, et implique des limites plus strictes à une formulation ILP TU (Totally Unimodular).