Réduction des erreurs déterministe, à la pointe de la technologie?

Supposons que l'on ait un algorithme randomisé (BPP) $A$ utilisant $r$ bits de caractère aléatoire. Les moyens naturels d'amplifier sa probabilité de réussite à $1-\delta$ , pour tout $\delta>0$ choisi , sont

• Exécutions indépendantes + vote majoritaire: exécutez $A$ indépendamment $T=\Theta(\log(1/\delta)$ fois et prenez le vote majoritaire des sorties. Cela nécessite $rT =\Theta(r\log(1/\delta))$ bits de caractère aléatoire, et fait exploser le temps de fonctionnement par un facteur $T=\Theta(\log(1/\delta))$ .
• Paires indépendantes par paire + Tchebychev: exécuter $A$ "par paire indépendamment" $T=\Theta(1/\delta)$ fois, et comparer à un seuil Cela nécessite $rT =\Theta(r/\delta)$ bits d'aléatoire, et fait exploser le temps de fonctionnement par un facteur $T=\Theta(1/\delta)$ .

Karp, Pippenger et Sipser [1] (apparemment, je n'ai pas pu mettre la main sur le papier lui-même, c'est un compte d'occasion) a fourni des approches alternatives basées sur des expandeurs réguliers solides: essentiellement, voir les $2^r$ nœuds r de l'expandeur comme les graines aléatoires. Choisissez un nœud aléatoire de l'expandeur à l'aide des $r$ bits aléatoires, puis

• faire une courte marche aléatoire de longueur $T=\Theta(\log(1/\delta))$ partir de là, et exécuter $A$ sur les graines $T$ correspondant aux nœuds sur le chemin, avant de prendre un vote majoritaire. Cela nécessite $r+T = r+\Theta(\log(1/\delta))$ bits de caractère aléatoire, et fait exploser le temps d'exécution par un facteur $T=\Theta(\log(1/\delta))$ .

• exécuter $A$ sur tous les voisins du nœud actuel (ou, plus généralement, tous les nœuds à une distance $c$ du nœud actuel) avant de prendre un vote majoritaire. Cela nécessite $r$ bits de caractère aléatoire et fait exploser le temps d'exécution par un facteur $T=d$ , où $d$ est le degré (ou $d^c$ pour le voisinage distance- $c$ . En configurant bien les paramètres, cela finit par coûter $T=\operatorname{poly}(1/\delta)$ ici.

Je m'intéresse à la dernière puce, qui correspond à la réduction des erreurs déterministes . Y a-t-il eu une amélioration après [1], réduisant la dépendance de $T$ sur ? Quelle est la meilleure solution actuellement réalisable - pour laquelle ? ? (Pour ? Pour ?)$\delta$$1/\delta^\gamma$$\gamma > 1$$\gamma > 0$$\textsf{BPP}$$\textsf{RP}$

Remarque: je suis également (très) intéressé par au lieu de . Comme introduit dans [2], la construction pertinente n'est alors plus des expanseurs, mais des disperseurs (voir par exemple, ces notes de cours de Ta-Shma, en particulier le tableau 3). Cependant, je n'ai pas pu trouver les limites correspondantes pour l' amplification déterministe (pas un seul bit plus aléatoire que le autorisé ), ni (plus important encore) ce que sont les constructions de disperseurs explicites de pointe pour la plage de paramètres pertinente. .$\textsf{RP}$$\textsf{BPP}$ r$r$

[1] Karp, R., Pippenger, N. et Sipser, M., 1985. Un compromis temps-aléatoire . Dans AMS Conference on Probabilistic Computational Complexity (Vol. 111).

[2] Cohen, A. et Wigderson, A., 1989, octobre. Disperseurs, amplification déterministe et sources aléatoires faibles. In 30th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (pp. 14-19). IEEE.

Les notes de cours de van Melkebeek ne donnent-elles pas déjà une borne $O(1/\delta)$ ? La borne y est $\lambda$ au plus $O(\sqrt{\delta})$et on obtient$\lambda = O(1/\sqrt{d})$utiliser des constructions existantes.

Dans les notes de cours de Dwork également, la condition requise est que l'expansion soit $C/\delta$ pour un certain $C$ constant (regarder des points dans la distance c utilise essentiellement l'alimentation pour améliorer l'expansion). Ce qui peut encore être obtenu avec le degré $O(1/\delta)$ .

$\Omega(1/\delta)$