Quelle est l'instance la plus difficile pour le problème d'isomorphisme de groupe?

On dit que deux groupes et sont isomorphes s'il existe un homomorphisme de en qui est bijectif. Le problème d'isomorphisme de groupe est le suivant: étant donné deux groupes, vérifiez s'ils sont isomorphes ou non. Il existe différentes façons de saisir un groupe, les deux plus utilisées sont par une table Cayley et par un groupe électrogène. Ici, je suppose que les groupes d'entrée sont donnés par leur table Cayley. Plus formellement:$(G,\cdot)$$(H, \times)$$G$$H$

$\textbf{Group Isomorphism Problem}$

$\textbf{Input : }$ Deux groupes et .$(G,\cdot)$$(H,\times)$

$\textbf{Decide : }$ Est-ce que ?$G \cong H$

Supposons que$n = |G| = |H|$

Le problème d'isomorphisme de groupe lorsque les groupes d'entrée sont donnés par la table Cayley n'est pas connu pour être dans en général. Bien qu'il existe des classes de groupe comme la classe de groupe abélienne pour laquelle le problème est connu pour être en temps polynomial, des groupes qui sont l'extension d'un groupe abélien, des groupes simples, etc. connu.$\textbf{P}$

Tarjan fournit un algorithme de force brute pour l'isomorphisme de groupe, qui est le suivant. Soient et sont deux groupes d'entrée, et que un ensemble de génération du groupe . C'est un fait bien connu que chaque groupe fini admet un groupe électrogène de taille et qui peut être trouvé en temps polynomial. Le nombre d'images du groupe électrogène dans l'homomorphisme de à est plusieurs. Maintenant, vérifiez si chaque homomorphisme possible est bijectif ou non. Le temps d'exécution global sera .$G$$H$$S$$G$$\mathcal{O}(\log n)$$S$$G$$H$$n^{\log n}$$n^{\log n + \mathcal{O}(1)}$

Permettez-moi d'abord de définir le centre du groupe :$G$

$Z(G)$G G G / Z ( G ) désigne les éléments du groupe qui commute avec tous les autres éléments du groupe . Les groupes pour lesquels (/ utilisé pour le quotient) est abélien sont appelés groupes nilpotents de classe deux. Il me semble que les groupes nilpotents de classe deux sont les instances les plus difficiles à résoudre le problème d'isomorphisme de groupe. La signification des «cas les plus difficiles» est la suivante: la résolution de ce cas permettra aux chercheurs qui travaillent en théorie des groupes de résoudre le problème d'isomorphisme d'un grand nombre de groupes.$G$$G$$G/Z(G)$

Au début, je pensais que les groupes simples sont les instances les plus difficiles car ils sont les éléments constitutifs de tous les groupes, mais j'ai appris plus tard que le problème d'isomorphisme pour les groupes simples se trouve dans .$\textbf{P}$

Question : Quelle est l'instance la plus difficile pour le problème d'isomorphisme de groupe?

$p$ groupes p de classe 2 et d'exposant$p$ sont généralement considérés comme le cas le plus difficile d'isomorphisme de groupe ($p > 2$ ). (Pour$p=2$ , nous devons considérer l'exposant 4, car tous les groupes d'exposants 2 sont abéliens - exercice facile pour le lecteur.) ), plusieurs raisons expliquent cette croyance. Permettez-moi d'en décrire certains ici.

0) Expérience pratique (voir les articles de Newman, Eick, O'Brien, Holt, Cannon, Wilson, ... qui donnent les algorithmes qui sont implémentés dans GAP et MAGMA).

0.5) [EDIT: ajouté 8/7/19] Réductions. Lorsque de tels $p$ groupes sont donnés en générant des ensembles de matrices sur $\mathbb{F}_p$ , le problème est $\mathsf{TI}$ complet [ G.-Qiao '19 ]. De même (cf. point (4) ci-dessous), l'isomorphisme des $p$ groupes d'exposant $p$ et de classe $c < p$ réduit en temps poly à l'isomorphisme des $p$ groupes d'exposant $p$ et de classe 2 (ibid.).

1) Structure (réduire en solvable, puis en groupe $p$ ). Chaque groupe fini contient un sous-groupe normal maximal soluble unique, appelé radical soluble, noté $Rad(G)$ . $G/Rad(G)$ ne contient pas de sous-groupes normaux abéliens, et l'isomorphisme de tels groupes peut être géré efficacement dans la pratique ( Cannon-Holt J.Sign. Comput.2003 ) et en théorie ( Babai-Codenotti-Qiao ICALP 2012 ). Même pour les groupes où $Rad(G)$ est abélien, certains d'entre eux peuvent être traités en $n^{O(\log \log n)}$ temps (G-Qiao CCC '14, SICOMP '17) - donc, pas tout à fait polynomial, mais beaucoup plus proche que$n^{\log n}$ . Le principal obstacle semble donc être des groupes (sous-) normaux résolubles. Maintenant, au sein des groupes solubles, il y a beaucoup de structure - à commencer par le fait que chaque groupe soluble est unproduit tricotéde ses sous-groupes$p$Sylow- et il semble que les cas les plus difficiles soient lesgroupes$p$.

2) Compter. Le nombre de groupes d'ordre $n$ est $\leq n^{(\frac{2}{27} + o(1))\mu(n)^2}$, où$\mu(n)$est le plus grand exposant de tout diviseur premier$n$(Pyber 1993). Le nombre de$p$groupes d'ordre$n=p^m$est au moins$p^{(\frac{2}{27} + o(1))m^2}$(Higman 1960). Vous voyez donc que le coefficient des termes principaux des exposants correspond. En ce sens, "la plupart" des groupes sont des groupes$p$(même de classe 2 et exposant$p$). Il existe une conjecture de longue date qui dit que "la plupart" dans le sens faible précédent peut être renforcé pour dire que la proportion de groupes d'ordre$\leq n$qui sont des$p$groupes tend vers 1 comme$n \to \infty$.

3) Universalité (/ sauvage). Donner une classification des groupes $p$ impliquerait une classification de toutes les représentations modulaires de tout groupe fini (ou même l'algèbre artinienne) dans le caractère $p$ ( Sergeichuk 1977 ).

4) Flexibilité. Pourquoi des groupes $p$ de classe 2 et non de classe supérieure? (Notez que les $p$ groupes de classe presque maximale, appelés "petites coclasses", ont été essentiellement classés, Eick & Leedham-Green 2006 , voir aussi certaines des réponses ici .) À tout $p$-Le groupe 1 peut associer un anneau de Lie gradué, où la parenthèse dans l'anneau de Lie correspond au commutateur du groupe. L'associativité dans le groupe implique l'identité jacobienne de la parenthèse, donnant ainsi naissance à un véritable anneau de Lie. Cependant, notez que lorsque le groupe est de classe 2, l'identité Jacobi est trivialement satisfaite (tous ses termes sont automatiquement 0), donc cela ne met aucune contrainte supplémentaire sur la structure. Il correspond essentiellement à une carte bilinéaire symétrique arbitraire. Pour les $p$ groupes d'exposant $p$ , il y a même une réduction de la classe $c < p$ à la classe 2.