Nombre de 4 cycles

Soit $C_4$ un cycle à quatre sommets. Pour un graphe arbitraire $G$ avec $n$ sommets et m arêtes disons $m>n\sqrt n$ , combien de$C_4$existent? Y a-t-il une limite inférieure pour cela?

Oui, c'est connu. Pour $d = \Omega(n^{1/2})$ avec une constante implicite suffisamment grande, tout $n$ graphe -node de degré moyen $d$ a $\Omega(d^4)$ totale $C_4$ s. Ceci est mieux possible car il est réalisé par un graphique aléatoire.

La première référence que je connaisse à ce sujet est "Graphes sursaturés en cube et problèmes connexes" par Erdos et Simonovits, où elle est revendiquée sans preuve. Il existe de nombreuses preuves là-bas, du haut de ma tête, voir le lemme 3 ici .