Le problème de décider si un CNF monotone implique un DNF monotone

Considérez le problème de décision suivant

Entrée : un CNF $\Phi$ monotone et un DNF monotone $\Psi$ .

Question : $\Phi \to \Psi$ une tautologie?

Vous pouvez certainement résoudre ce problème en temps $O(2^n \cdot \mathrm{poly}(l))$ , où $n$ est le nombre de variables dans $\Phi \to \Psi$ et $l$ est la longueur de l'entrée. D'un autre côté, ce problème est coNP-complet. En outre, une réduction qui établit également coNP-complétude montre que, à moins que SETH échoue, il n'y a pas $O(2^{(1/2 - \varepsilon)n} \mathrm{poly}(l))$ -algorithme de temps pour ce problème (cela vaut pour tout positif $\varepsilon$ ). Voici cette réduction. Soit $A$ un CNF (non monotone) et soit $x$ sa variable. Remplacez chaque occurrence positive de $x$ par $y$ et chaque occurrence négative de $x$ par $z$ . Faites de même pour chaque variable. Soit le CNF monotone résultant $\Phi$ . Il est facile de voir que $A$ est satisfiable si $\Phi \to yz \lor \ldots$ n'est pas une tautologie. Cette réduction fait exploser le nombre de variables d'un facteur 2, ce qui implique $2^{n/2}$ Limite inférieure (basée sur SETH) mentionnée ci-dessus.

Il y a donc un écart entre $2^{n/2}$ et $2^n$ . Ma question est de savoir si un meilleur algorithme ou une meilleure réduction de SETH est connu?

Juste deux remarques apparemment liées au problème:

un problème inverse de savoir si un DNF monotone implique un CNF monotone est trivialement résoluble en temps polynomial.
Fait intéressant, le problème de décider si $\Phi$ et $\Psi$ calculer la même fonction peut être résolu en temps quasi-polynomiale en raison de Fredman et Khachiyan (la complexité de dualisation de Monotone disjonctif formes normales, Journal des algorithmes 21 (1996), no. 3 , p. 618–628, doi: 10.1006 / jagm.1996.0062 )

exp-time-algorithms boolean-formulas fine-grained

— Sasha Kozachinskiy
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En supposant SETH, le problème n'est pas résoluble dans le temps $O\bigl(2^{(1-\epsilon)n}\mathrm{poly}(l)\bigr)$ pour tout $\epsilon>0$ .

Tout d'abord, permettez-moi de montrer que cela est vrai pour le problème plus général où $\Phi$ et $\Psi$ peuvent être des formules monotones arbitraires. Dans ce cas, il y a une réduction ctt poly-temps de TAUT au problème qui préserve le nombre de variables. Soit $T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})$ la fonction seuil

T_{t}^{n} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}) = 1 ⟺ | {i < n : x_{i} = 1} | \geq t .

$T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})=1\iff\bigl|\{i<n:x_i=1\}\bigr|\ge t.$ En utilisant le réseau de tri Ajtai – Komlós – Szemerédi,

T_{t}^{n}

$T^n_t$ peut être écrit par une formule monotone de taille polynomiale, constructible en temps

p o l y (n)

$\mathrm{poly}(n)$ .

Étant donné une formule booléenne , nous pouvons utiliser les règles de De Morgan pour l'écrire sous la forme où est monotone. Alors $\phi(x_0,\dots,x_{n-1})$

ϕ^{'} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}, \neg x_{0}, \dots, \neg x_{n - 1}),

$\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},\neg x_0,\dots,\neg x_{n-1}),$

ϕ^{'}

$\phi'$

est une tautologie si et seulement si les implications monotones

sont valables pour tout

, où

ϕ (x_{0}, \dots, x_{n - 1})

$\phi(x_0,\dots,x_{n-1})$

T_{t}^{n} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}) \to ϕ^{'} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}, N_{0}, \dots, N_{n - 1})

$T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})\to\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$

t \leq n

$t\le n$

N_{i} = T_{t}^{n - 1} (x_{0}, \dots, x_{i - 1}, x_{i + 1}, \dots, x_{n - 1}) .

$N_i=T^{n-1}_t(x_0,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_{n-1}).$

Pour l'implication de gauche à droite, soit une affectation satisfaisant , c'est-à-dire avec au moins uns. Il existe avec exactement uns. Alors , donc implique $e$ $T^n_t$ $t$ $e'\le e$ $t$ $e'\models N_i\leftrightarrow\neg x_i$ $e'\models\phi$ . Comme il s'agit d'une formule monotone, nous avons également $e'\models\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$ . L'implication de droite à gauche est similaire. $e\models\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$

Maintenant, permettez-moi de revenir au problème d'origine. Je vais montrer ce qui suit: si le problème est résoluble dans le temps , alors pour tout,-DNF-TAUT (ou dualement,-SAT) est résoluble dans le temps $2^{\delta n}\mathrm{poly}(l)$ $k$ $k$ $k$ . Cela impliquesi SETH est vrai. $2^{\delta n+O(\sqrt{kn\log n})}\mathrm{poly}(l)$ $\delta\ge1$

Supposons donc qu'on nous donne un -DNF où $k$

ϕ = \underset{i < l}{⋁} (\underset{j \in A_{i}}{⋀} x_{j} \land \underset{j \in B_{i}}{⋀} \neg x_{j}),

$\phi=\bigvee_{i<l}\Bigl(\bigwedge_{j\in A_i}x_j\land\bigwedge_{j\in B_i}\neg x_j\Bigr),$

pour chaque

. Nous divisons les

variables en

blocs de taille

| A_{i} | + | B_{i} | \leq k

$|A_i|+|B_i|\le k$

i

$i$

n

$n$

n^{'} = n / b

$n'=n/b$

chacun. Par le même argument que ci-dessus,

est une tautologie si et seulement si les implications

b \approx \sqrt{k^{- 1} n \log n}

$b\approx\sqrt{k^{-1}n\log n}$

ϕ

$\phi$

sont valables pour tout

-tuple

, où pour tout

, nous définissons

\begin{matrix} (*) & \underset{u < n^{'}}{⋀} T_{t_{u}}^{b} (x_{b u}, \dots, x_{b (u + 1) - 1}) \to \underset{i < l}{⋁} (\underset{j \in A_{i}}{⋀} x_{j} \land \underset{j \in B_{i}}{⋀} N_{j}) \end{matrix}

$\tag{$*$}\bigwedge_{u<n'}T^b_{t_u}(x_{bu},\dots,x_{b(u+1)-1})\to \bigvee_{i<l}\Bigl(\bigwedge_{j\in A_i}x_j\land\bigwedge_{j\in B_i}N_j\Bigr)$

n^{'}

$n'$

t_{0}, \dots, t_{n^{'} - 1} \in [0, b]

$t_0,\dots,t_{n'-1}\in[0,b]$

j = b u + j^{'}

$j=bu+j'$

0 \leq j^{'} < b

$0\le j'<b$

Nous pouvons écrire

comme un CNF monotone de taille

, donc le LHS de

est un CNF monotone de taille

. Sur la droite, on peut écrire

N_{j} = T_{t_{u}}^{b - 1} (x_{b u}, \dots, x_{b u + j^{'} - 1}, x_{b u + j^{'} + 1}, \dots, x_{b (u + 1) - 1}) .

$N_j=T^{b-1}_{t_u}(x_{bu},\dots,x_{bu+j'-1},x_{bu+j'+1},\dots,x_{b(u+1)-1}).$

T_{t}^{b}

$T^b_{t}$

O (2^{b})

$O(2^b)$

(*)

$(*)$

O (n 2^{b})

$O(n2^b)$

N_{j}

$N_j$ comme un DNF monotone de taille

. Ainsi, en utilisant la distributivité, chaque disjonction de la RHS peut être écrite comme un DNF monotone de taille

, et la RHS entière est une DNF de taille

. Il s'ensuit que

est une instance de notre problème de taille

variables. Par hypothèse, nous pouvons vérifier sa validité dans le temps

O (2^{b})

$O(2^b)$

O (2^{k b})

$O(2^{kb})$

O (l 2^{k b})

$O(l2^{kb})$

(*)

$(*)$

O (l 2^{O (k b)})

$O(l2^{O(kb)})$

n

$n$

. Nous répétons cette vérification pour tous les

choix de

, donc le temps total est

O (2^{δ n + O (k b)} l^{O (1)})

$O(2^{\delta n+O(kb)}l^{O(1)})$

b^{n^{'}}

$b^{n'}$

\vec{t}

$\vec t$

comme revendiqué.

O ((b + 1)^{n / b} 2^{δ n + O (k b)} l^{O (1)}) = O (2^{δ n + O (\sqrt{k n \log n})} l^{O (1)})

$O\bigl((b+1)^{n/b}2^{\delta n+O(kb)}l^{O(1)}\bigr)=O\bigl(2^{\delta n+O(\sqrt{kn\log n})}l^{O(1)}\bigr)$

Nous obtenons une connexion plus étroite avec le (S) ETH en considérant la version à largeur limitée du problème: pour tout , soit -MonImp dénote la restriction du problème où est un -CNF, et est un -DNF. Le (S) ETH concerne les constantes $k\ge3$ $k$ $\Phi$ $k$ $\Psi$ $k$

\begin{aligned} s_{k} & = inf {δ : k - S UNE T \in ré T je M E (2^{δ n})}, \\ s_{\infty} & = souper {s_{k} : k \geq 3} . \end{aligned}

$\begin{align*} s_k&=\inf\{\delta:k\text-\mathrm{SAT}\in\mathrm{DTIME}(2^{\delta n})\},\\ s_\infty&=\sup\{s_k:k\ge3\}. \end{align*}$

\begin{aligned} s_{k}^{'} & = inf {δ : k - M o n je m p \in ré T je M E (2^{δ n})}, \\ s_{\infty}^{'} & = souper {s_{k}^{'} : k \geq 3} . \end{aligned}

$\begin{align*} s'_k&=\inf\{\delta:k\text-\mathrm{MonImp}\in\mathrm{DTIME}(2^{\delta n})\},\\ s'_\infty&=\sup\{s'_k:k\ge3\}. \end{align*}$ Clairement,

s_{3}^{'} \leq s_{4}^{'} \leq \dots \leq s_{\infty}^{'} \leq 1

$s'_3\le s'_4\le\dots\le s'_\infty\le1$ comme dans le cas SAT. Nous avons aussi

s_{k}^{'} \leq s_{k},

$s'_k\le s_k,$ et la réduction à double variable de la question montre

s_{k} \leq 2 s_{k}^{'} .

$s_k\le2s'_k.$ Maintenant, si nous appliquons la construction ci-dessus avec une taille de bloc constante

b

$b$ , on obtient

s_{k} \leq s_{b k}^{'} + \frac{Journal (b + 1)}{b},

$s_k\le s'_{bk}+\frac{\log(b+1)}b,$ Par conséquent

s_{\infty} = s_{\infty}^{'} .

$s_\infty=s'_\infty.$ En particulier, SETH est équivalent à

s_{\infty}^{'} = 1

$s'_\infty=1$ et ETH est équivalent à

s_{k}^{'} > 0

$s'_k>0$ pour tous

k \geq 3

$k\ge3$ .

— Emil Jeřábek soutient Monica
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Merci pour votre réponse! Je suis curieux de savoir s'il est possible de faire

Φ

$\Phi$ et

Ψ

$\Psi$ profondeur constante dans cette construction? À savoir, je ne sais pas si les formules booléennes monotones à profondeur constante de taille sous-exponentielle (ou même les circuits non monotones) sont connues pour

T_{k}^{n}

$T^n_k$ (en particulier pour la majorité)? Bien sûr, il y a un

2^{n^{Ω (1 / d)}}

$2^{n^{\Omega(1/d)}}$ borne inférieure pour la profondeur

d

$d$ , mais disons

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$ la taille serait OK.

— Sasha Kozachinskiy

T_{k}^{n}

$T^n_k$ , et en général tout élément calculable par des formules de taille polynomiale (c'est-à-dire dans NC ^ 1), a

d

$d$ circuits de taille

2^{n^{O (1 / d)}}

$2^{n^{O(1/d)}}$ . Voir par exemple cstheory.stackexchange.com/q/14700 . Je devrai penser si vous pouvez les rendre monotones, mais cela semble plausible.

— Emil Jeřábek soutient Monica le

D'ACCORD. Premièrement, la construction générique fonctionne bien dans le paramètre monotone: si une fonction a des formules monotones poly-taille, elle a

d

$d$ circuits monotones de taille

2^{n^{O (1 / d)}} p o l y (n)

$2^{n^{O(1/d)}}\mathrm{poly}(n)$ pour toute

d \geq 2

$d\ge2$ . Deuxièmement, pour

T_{k}^{n}

$T^n_k$ en particulier, il est facile de construire des

3

$3$ circuits de taille

2^{O (\sqrt{n \log n})}

$2^{O(\sqrt{n\log n})}$ en divisant l'entrée en blocs de taille

Θ (\sqrt{n \log n})

$\Theta(\sqrt{n\log n})$ .

— Emil Jeřábek supports Monica

Actually, pushing this idea a little bit more, it does provide an answer to the original question: assuming SETH, the lower bound holds already for

Φ

$\Phi$ monotone CNF and

Ψ

$\Psi$ monotone DNF. I will write it up later.

— Emil Jeřábek supports Monica

I would guess that you can divide all the variables into about

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ blocks

x^{1}, \dots x^{\sqrt{n}}

$x^1, \ldots x^{\sqrt{n}}$ and then write

T_{k_{1}}^{\sqrt{n}} (x^{1}) \land \dots \land T_{k_{\sqrt{n}}}^{\sqrt{n}} (x^{\sqrt{n}}) \to ϕ^{'}

$T^{\sqrt{n}}_{k_1}(x^1)\land \ldots \land T^{\sqrt{n}}_{k_\sqrt{n}}(x^{\sqrt{n}}) \to \phi^\prime$ for every

k_{1} + \dots + k_{\sqrt{n}} \leq n

$k_1 + \ldots + k_{\sqrt{n}} \le n$ . You can use

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$ -size CNF for every threshold function. But then on a right hand side you will have not DNF but a depth-3 formula...

— Sasha Kozachinskiy