Représentation en circuit succinct des graphiques

La classe de complexité PPAD (par exemple, le calcul de divers équilibres de Nash) peut être définie comme l'ensemble des problèmes de recherche totaux polytemporaires réductibles en FIN DE LIGNE :

FIN DE LIGNE : Étant donné les circuits S et P avec n bits d'entrée et n bits de sortie tels que P (0 ⁿ ) = 0 ⁿ ! = S (0 ⁿ ) , trouver une entrée x dans {0,1} ⁿ telle que P (S (x)) ! = X ou S (P (x)) ! = X ! = 0 ⁿ .

Des circuits ou des algorithmes tels que S et P définissent implicitement un graphe exponentiellement grand qui n'est révélé que requête par requête (pour garder le problème dans PSPACE !), Par exemple l'article de Papadimitrou .

Cependant, je ne comprends pas comment on pourrait concevoir un circuit qui permet des graphes arbitraires (s'il y a une structure systématique dans le graphe, il semble beaucoup plus facile de trouver le circuit). Par exemple, comment concevoir un circuit de taille polynomiale qui représente une ligne dirigée exponentiellement longue, avec une étiquette tout-0 pour le sommet source et des étiquettes binaires assignées au hasard à tous les autres sommets? Cela semble implicite dans les articles liés au PPAD .

Le plus proche que je suis venu d'une recherche en ligne est l'article de Galperin / Widgerson , mais le circuit décrit ici prend deux étiquettes de vertex et renvoie une réponse booléenne à "Ces sommets sont-ils adjacents?"

Alors, comment concevriez-vous un circuit de taille polynomiale d'un graphe de taille exponentielle qui prend une entrée à n bits et sort l' étiquette de n bits de son prédécesseur ou successeur, respectivement? Ou même, quelqu'un connaît-il une ressource qui l'explique bien?

Votre question semble se poser: comment représenter des graphes arbitraires (ou même des graphes de chemins arbitraires) comme un circuit de taille polynomiale? La réponse est non. Le nombre de graphes de chemins différents avec 2 ⁿ sommets est (2 ⁿ ) !, bien plus que le nombre de circuits différents avec n portes ^c (exponentielle dans n ^c log n). Ainsi, presque tous les graphiques avec autant de sommets ne peuvent pas être représentés par un circuit succinct.

Par conséquent, comme vous l'indiquez, dans un certain sens, seuls les graphiques qui ont un haut degré de structure peuvent être représentés de cette manière. C'est ce qui rend les classes de complexité comme PPAD intéressantes: malgré la structure que nous connaissons les graphiques d'entrée du problème EOL, nous ne semblons pas savoir comment tirer parti de la structure pour résoudre le problème efficacement.

Si je comprends mal votre question et que vous vous demandez vraiment: comment peut-on faire un circuit qui répond même aux exigences d'entrée pour EOL, même pour un graphe très très structuré: essayez le graphe de chemin qui relie le sommet x (considéré comme un nombre en binaire) à x-1 et x + 1, avec des extrémités à zéro et à 2 ^ n-1. Ou si vous voulez quelque chose de moins trivial qui semble plus difficile à résoudre EOL pour: laissez E et D les fonctions de chiffrement et de déchiffrement pour une clé fixe dans votre système de cryptage préféré, laissez les voisins de x dans le graphique être E (x) et D (x), et que les extrémités de la ligne soient 0 et D (0).

Comme la plupart des graphes sur n sommets sont aléatoires de Kolmogorov, ils ne peuvent pas être décrits par un circuit (ou tout autre programme) qui est significativement plus petit que le graphe lui-même. (Si vous ne savez pas ce que signifie Kolmogorov-random, vous pouvez essentiellement prendre la conclusion de la phrase précédente comme définition. Ensuite, comptez sur le fait que presque toutes les chaînes sont Kolmogorov-random.)

Bien que je ne connaisse pas intimement les travaux que vous avez cités, je suppose qu'ils parlent toujours de graphiques décrits par des circuits. En d'autres termes, en se concentrant sur les circuits, ils limitent essentiellement leur attention à la classe de graphes qui ont des circuits succincts (dont la taille est logarithmique dans la taille du graphique).