Généralisation de l'affirmation selon laquelle un monoïde reconnaît le langage ssi le monoïde syntaxique divise le monoïde

Soit un alphabet fini. Pour un langage donné le monoïde syntaxique est une notion bien connue en théorie formelle du langage. De plus, un monoïde reconnaît un langage ssi il existe un morphisme tel que . $A$ $L \subseteq A^{\ast}$ $M(L)$ $M$ $L$ $\varphi : A^{\ast} \to M$ $L = \varphi^{-1}(\varphi(L)))$

Ensuite, nous avons le bon résultat:

Un monoïde reconnaît si est une image homomorphique d'un sous-monoïde de (écrit ). $M$ $L \subseteq A^{\ast}$ $M(L)$ $M$ $M(L) \prec M$

Ce qui précède est généralement des états dans le contexte des langages réguliers, puis les monoïdes ci-dessus sont tous finis.

Supposons maintenant que nous substituons par un monoïde arbitraire , et nous disons qu'un sous-ensemble est reconnu par s'il existe un morphisme tel que . Il nous reste alors que si reconnaît , alors (voir S. Eilenberg, Automates, Machines and Languages, Volume B), mais l'inverse est-il valable? $A^{\ast}$ $N$ $L \subseteq N$ $M$ $\varphi : N \to M$ $L = \varphi^{-1}(\varphi(L))$ $M$ $L$ $M(L) \prec M$

Dans la preuve pour l'inverse est prouvé en exploitant la propriété que si pour un certain morphisme et est aussi un morphisme, alors on peut trouver tel que tient, simplement en choisissant pour chaque et se prolongeant à un morphisme de à . Mais cela ne fonctionne pas pour les monoïdes arbitraires , je m'attends donc à ce que l'inverse ci-dessus soit faux. Et si c'est faux, pour quel genre de monoïde à côté de $A^{\ast}$ $N = \varphi(M)$ $\varphi : M \to N$ $\psi : A^{\ast} \to N$ $\rho : A^{\ast} \to M$ $\varphi(\rho(u)) = \psi(u)$ $\rho(x) \in \varphi^{-1}(\psi(x))$ $x \in A$ $A^{\ast}$ $M$ $N$ $A^{\ast}$ est-ce toujours vrai, et ces monoïdes ont-ils reçu une quelconque attention dans la littérature de recherche?

— StefanH
source

Fin du premier paragraphe: ne serait-ce pas L au lieu de A?

— Mateus de Oliveira Oliveira

@MateusdeOliveiraOliveira Oui, merci de l'avoir remarqué!

— StefanH

Oui, ces monoïdes ont reçu de l'attention dans la littérature de recherche et conduisent en fait à des questions difficiles.

Définition . Un monoïde est appelé projectif si la propriété suivante est vérifiée: si est un morphisme monoïde et est un morphisme surjectif, alors il existe un morphisme tel que . $N$ $f:N \to R$ $h:T \to R$ $g:N \to T$ $f = h \circ g$

Vous pouvez trouver une longue discussion sur les monoïdes projectifs dans [1], juste après la définition 4.1.33. On montre notamment que tout semi-groupe fini projectif est une bande (un semi-groupe dans lequel chaque élément est idempotent). Mais l'inverse n'est pas vrai et c'est en fait un problème ouvert de décider si un semi-groupe fini est projectif.

[1] J. Rhodes et B. Steinberg, La théorie des semi-groupes finis $q$ . Monographies Springer en mathématiques. Springer, New York, 2009. xxii + 666 pp. ISBN: 978-0-387-09780-0

— J.-E. Épingle
source

Merci pour votre réponse! Mais cette propriété est-elle vraiment nécessaire, je veux dire qu'elle est suffisante, mais la "propriété de division" du monoïde syntaxique échoue-t-elle vraiment en général, et si c'est le cas, avez-vous un exemple (ou un contre-exemple que si le monoïde syntaxique divise un autre monoïde , alors l'autre monoïde reconnaît également le sous-ensemble à partir duquel le monoïde syntaxique est construit)?

— StefanH