Soit un alphabet fini. Pour un langage donné le monoïde syntaxique est une notion bien connue en théorie formelle du langage. De plus, un monoïde reconnaît un langage ssi il existe un morphisme tel que .L ⊆ A ∗ M ( L ) M L φ : A ∗ → M L = φ - 1 ( φ ( L ) ) )
Ensuite, nous avons le bon résultat:
Un monoïde reconnaît si est une image homomorphique d'un sous-monoïde de (écrit ).L ⊆ A ∗ M ( L ) M M ( L ) ≺ M
Ce qui précède est généralement des états dans le contexte des langages réguliers, puis les monoïdes ci-dessus sont tous finis.
Supposons maintenant que nous substituons par un monoïde arbitraire , et nous disons qu'un sous-ensemble est reconnu par s'il existe un morphisme tel que . Il nous reste alors que si reconnaît , alors (voir S. Eilenberg, Automates, Machines and Languages, Volume B), mais l'inverse est-il valable? N L ⊆ N M φ : N → M L = φ - 1 ( φ ( L ) ) M L M ( L ) ≺ M
Dans la preuve pour l'inverse est prouvé en exploitant la propriété que si pour un certain morphisme et est aussi un morphisme, alors on peut trouver tel que tient, simplement en choisissant pour chaque et se prolongeant à un morphisme de à . Mais cela ne fonctionne pas pour les monoïdes arbitraires , je m'attends donc à ce que l'inverse ci-dessus soit faux. Et si c'est faux, pour quel genre de monoïde à côté de N = φ ( M ) φ : M → N ψ : A ∗ → N ρ : A ∗ → M φ ( ρ ( u ) ) = ψ ( u ) ρ ( x ) ∈ φ - 1 ( ψ ( x ) ) x ∈ A A ∗ M N A ∗ est-ce toujours vrai, et ces monoïdes ont-ils reçu une quelconque attention dans la littérature de recherche?