La correspondance maximale M avec la condition G [M] est sans 2K_2

Y a-t-il quelque chose dans la littérature proche du problème suivant:

Étant donné un graphe biparti avec bipartition équilibrée { U , W } , existe-t-il une correspondance parfaite M dans G telle que pour chaque 2 arêtes u 1 w 1 , u 2 w 2 ∈ M , il y a une arête u 1 w 2 ou bord u 2 w 1 (ou les deux) en G ?$G(V,E)$$\{U,W\}$$M$$G$$u_1w_1, u_2w_2\in M$$u_1w_2$$u_2w_1$$G$

En d'autres termes, existe-t-il une correspondance parfaite telle que le sous-graphe induit G [ M ] est exempt de 2 K 2 . (Avec bipartition équilibrée, je voulais dire | U | = | W | .)$M$$G[M]$$2K_2$$|U|=|W|$

La condition supplémentaire est quelque chose comme un extrême opposé à celui utilisé dans le problème d'appariement induit. Un autre problème peut-être lié est le problème de trouver la taille maximale correspondant à dans le graphique bipartite G de telle sorte que la contraction des arêtes dans M minimise le nombre d'arêtes restantes dans le graphique.$M$$G$$M$

J'ai vérifié la liste des problèmes liés à l'appariement donnés par Plummer dans Appariement et emballage des sommets: à quel point sont-ils "difficiles"? sans succès.

PS: Ce problème est un cas particulier de ce problème de décision: - Pour un , existe-t-il une correspondance maximale M d'un graphe biparti G tel que G [ M ] est 2 K 2- gratuit et | M | > k . Si le graphe d'entrée est biparti équilibré et k = | U | , nous obtenons le problème ci-dessus.$k\in\mathbb{N}$$M$$G$$G[M]$$2K_2$$|M|>k$$k=|U|$

Je vous remercie.

Surprise! (pour moi).
Ce type d'appariements est déjà étudié dans la littérature. Ils sont appelés appariements connectés .

Ils ont été introduits par Plummer, Stiebitz et Toft dans leur étude sur la conjecture de Hadwiger. Voir le chapitre "Connexions connectées" de Cameron dans le livre "Optimisation combinatoire - Eureka, vous rétrécissez!"

L'état des correspondances connectées dans les graphiques bipartites (pas nécessairement équilibré) est ouvert à ma connaissance ( je mettrai à jour ). La version pondérée du problème est NP-complète pour les graphiques bipartites. Le problème est le temps polynomial résoluble pour les graphes bipartis en accords.

$n^{1-\epsilon}$

Notes ajoutées plus tôt (conservées pour les personnes intéressées):
" Correspondances connectées dans les graphes bipartis en accords " par Jobson et al. (doi: https://doi.org/10.1016/j.disopt.2014.06.003 ) et " Connexions connectées dans des familles spéciales de graphiques " par Caragianis (thèse) sont deux références notables.

$M$$G$$M$$G$
$e$$e’$$e$$e’$

$L(G)$$G$

Le problème des ensembles stong est connu pour être NP-complet dans certaines classes de graphes. Je ne connais pas son statut sur les graphiques en ligne des graphiques bipartites. Le papier indique qu'il est NP-complet sur les graphiques bipartites. Notre intérêt ici sera dans la classe des graphes linéaires des graphes bipartis.