Aperçus communs sur la complexité hypothétique des problèmes de graphe

Je suis tombé sur deux exemples de dureté hypothétique de certains problèmes graphiques. La dureté hypothétique signifie que réfuter une conjecture impliquerait l'exhaustivité NP du problème de graphe respectif. Par exemple, la conjecture de Barnette déclare que chaque graphe bipartite planaire cubique à 3 connexions est hamiltonien. Feder et Subi ont prouvé que réfuter la conjecture impliquerait l'exhaustivité NP du problème du cycle hamiltonien sur les graphiques de la classe de la conjecture.

La conjecture de 5 flux de Tutte indique que chaque graphique sans pont a un 5 flux nulle part zéro. Kochol a montré que si la conjecture est fausse, le problème de déterminer si un graphique cubique admet un 5-flux nul nulle est NP-complet .

Existe-t-il des idées communes sur les conjectures ci-dessus qui expliquent l'hypothèse de NP-complétude des problèmes de graphique correspondants? Y a-t-il d'autres exemples de complexité hypothétique dans le sens ci-dessus?

PS Ceci a été publié sur MathoverFlow sans obtenir de réponse.

Voici deux références pour la deuxième partie de votre question.

L'article [1] aborde certains types de colorabilité des graphiques clairsemés avec une circonférence donnée . Pour chaque g fixe , ils montrent que le problème de décision associé est soit trivial (chaque graphique de la classe a une coloration) soit NP-complet. Mais déterminer quelle est la valeur seuil de g reste un problème ouvert difficile! Edit: L'un des problèmes considérés est lié à la conjecture de Jaeger, que chaque graphique planaire de circonférence 4 k admet un homomorphisme à C 2 k + 1$g$$g$$g$
$4k$$C_{2k+1}$. Il est montré dans [1] que tout contre-exemple fournit directement une preuve de dureté. (Une conjecture similaire de Klostermeyer et Zhang existe pour les circonférences impaires.) Pour les autres problèmes considérés dans [1], il n'y a pas de conjecture officielle, mais pour toute supposition sur la valeur seuil correcte que l'on peut faire, si elle est prouvée fausse par un contre-exemple, ce dernier implique directement une preuve de dureté correspondante.$g$

Dans l'introduction de l'article cité ci-dessus est également mentionné le résultat intéressant suivant sur SAT [2]. On y prouve que pour tout , il existe une fonction f ( k ) telle que$k$$f(k)$ -SAT (ie k -SAT où chaque variable apparaît f ( k ) fois) est triviale, mais ( k , f ( k ) + 1 ) -SAT est NP-complet. (La valeur précise de f ( k $(k,f(k))$$k$$f(k)$$(k,f(k)+1)$$f(k)$ semble inconnu, bien qu'une estimation soit donnée.)

[1] L. Esperet, M. Montassier, P. Ochem et A. Pinlou. Une dichotomie de complexité pour la coloration des graphes clairsemés. Journal of Graph Theory 73: 85-102, 2012. lien + PDF sur le site Web d'un auteur

[2] J. Kratochvil, P. Savicky et Zs. Tuza. Une occurrence supplémentaire de variables fait passer la satisfiabilité de trivial à NP-complete. SIAM Journal on Computing 22: 203-210, 1993. lien

Existe-t-il des idées communes sur les conjectures ci-dessus qui expliquent l'hypothèse de NP-complétude des problèmes de graphique correspondants?

$O(1)$

Et l'idée courante est que les problèmes naturels, le cycle hamiltonien et nulle part le débit nul dans les graphiques généraux, sont suffisamment "structurés et puissants" pour "simuler" efficacement la trace d'une machine de Turing (à la Cook-Levin). Ensuite, vous commencez à ajouter de plus en plus de contraintes jusqu'à ce que vous n'obteniez aucune "puissance de calcul".

Pour moi, c'est comme ajouter de plus en plus de contraintes sur le graphique de transition d'une machine Turing (ou sur le lecteur de bande en lecture / écriture) jusqu'à ce que vous obteniez quelque chose de trivial comme "le graphique de transition ne contient pas de cycle".

Y a-t-il d'autres exemples de complexité hypothétique dans le sens ci-dessus?

En tant que "cas résolu" (probablement), je peux apporter mon expérience liée au problème de roulement d'une matrice sur une carte étiquetée .

Il y a quelques années, on ne savait pas si les planches entièrement étiquetées pouvaient contenir deux cycles Hamiltonain distincts ( une conjecture à enroulement unique a été établie pour toutes les planches avec des longueurs latérales d'au plus 8). Domotor P. (utilisateur domotorp ici) et moi (indépendamment) avons prouvé que de telles cartes existent et que la conjecture est fausse (... notez que Joseph O'Rourke n'a pas encore mis à jour sa page :-).

Puis, en utilisant ce fait, j'ai pu prouver que rouler une matrice sur une carte entièrement étiquetée avec des trous est NP-complet (le boîtier sans trous est toujours ouvert); bien que ce soit un résultat non publié.