Quelle est la probabilité qu'une fonction booléenne aléatoire ait un groupe d'automorphisme trivial?

Étant donné une fonction booléenne , nous avons le groupe d'automorphisme A u t ( f ) = { σ ∈ S n ∣ ∀ x , f ( σ ( x ) ) = f ( x ) } .$f$$Aut(f) = \{\sigma \in S_n\ \mid \forall x, f(\sigma(x)) = f(x) \}$

Existe-t-il des bornes connues sur ? Existe-t-il quelque chose de connu pour les quantités de la forme P r f ( G ≤ A u t ( f ) ) pour un groupe G ?$Pr_f(Aut(f) \neq 1)$$Pr_f(G \leq Aut(f))$$G$

Oui. Pour votre première question, la probabilité va à zéro à double exponentielle rapide. Cela peut être calculé comme suit. Pour chaque permutation , nous pouvons limiter la probabilité que π ∈ A u t ( f ) , c'est-à-dire que f ( π ( x ) ) = f ( x ) pour tout x ∈ { 0 , 1 } n . Considérons les orbites de π agissant sur { 0 , 1 } n . Nous avons cela $\pi$$\pi \in Aut(f)$$f(\pi(x)) = f(x)$$x \in \{0,1\}^n$$\pi$$\{0,1\}^n$$\pi$est un automorphisme de si f est constant sur les π -orbites. Si π n'est pas trivial, il a au moins une orbite sur [ n ] qui n'est pas un singleton, et donc au moins sur une orbite sur { 0 , 1 } n qui n'est pas un singleton. Supposons que l'orbite contienne k éléments. La probabilité que f soit constant sur cette orbite est donc précisément 2 - ( k - 1 ) . Supposons que π agissant sur [ n ] a$f$$f$$\pi$$\pi$$[n]$$\{0,1\}^n$$k$$f$$2^{-(k-1)}$$\pi$$[n]$ points fixes, c 2 cycles de longueur 2, etc. (en particulier ∑ n i = 1 i c i = n ). Alors le nombre de points de { 0 , 1 } n fixés par π est précisément 2 ∑ i c i . Tous les points restants de { 0 , 1 } n sont sur des orbites non triviales de π . À la limite supérieure, la probabilité que π ∈ A u t $c_1$$c_2$$\sum_{i=1}^n i c_i = n$$\{0,1\}^n$$\pi$$2^{\sum_i c_i}$$\{0,1\}^n$$\pi$ , notons que la meilleure possibilité est que tous les éléments non fixes de$\pi \in Aut(f)$ viennent sur des orbites de taille 2. On obtient donc que P r ( π ∈ A u t ( f ) ) ≤ ( 1 / 2 ) M / 2 où M = 2 n - 2 ∑ i c i . Maintenant, nous voulons une borne inférieure sur M , ce qui signifie que nous voulons une borne supérieure sur ∑ i $\{0,1\}^n$$Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{M/2}$$M = 2^n - 2^{\sum_i c_i}$$M$ . Puisque π ≠ 1 , le plus grand ∑ c i peut être lorsque c 1 = n - 2 et c 2 = 1 , c'est-à-dire ∑ c i = n - 1 et M = 2 n - 2 n - 1 = 2 n - 1 , donc M ≥ 2 n - 1 et P r ( π $\sum_i c_i$$\pi \neq 1$$\sum c_i$$c_1 = n-2$$c_2 = 1$$\sum c_i = n-1$$M = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}$$M \geq 2^{n-1}$ . Appliquez maintenant l'union liée: | S n | = n ! , donc P r ( ( ∃ π ∈ S n ) [ π ≠ 1  et  π ∈ A u t ( f ) ] ) ≤ n ! 2 - 2 $Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{2^{n-2}}$$|S_n| = n!$ , qui est fondamentalement2nlgn- 2 n - 2 →0commen→∞, assez rapidement.$Pr((\exists \pi \in S_n)[\pi \neq 1 \text{ and } \pi \in Aut(f)]) \leq n! 2^{-2^{n-2}}$$2^{n \lg n - 2^{n-2}} \to 0$$n \to \infty$

Pour tout vous pourriez utiliser un raisonnement similaire, mais la probabilité ira aussi très rapidement à zéro.$G \leq S_n$