Complexité de la communication… des cours?

Discussion :

J'ai passé un peu de temps récemment à apprendre différentes choses sur la complexité de la communication. Par exemple, je me suis familiarisé avec le chapitre pertinent d'Arora / Barak, j'ai commencé à lire certains articles et commandé le livre de Kushilevitz / Nisan. Intuitivement, je veux opposer la complexité de la communication à la complexité du calcul. Et en particulier, je suis frappé par le fait que la complexité de calcul s'est développée en une théorie riche de placer les problèmes de calcul dans des classes de complexité, dont certaines peuvent être à leur tour ( d'un point de vue, au moins ) envisagées en termes de problèmes complets pour chaque classe donnée. Par exemple, pour expliquer $NP$ à quelqu'un pour la première fois, il est difficile d'éviter les comparaisons avec SAT ou un autre problème NP-complet.

En comparaison, je n'ai jamais entendu parler d'un concept analogue pour les classes de complexité de la communication. Il existe de nombreux exemples, à ma connaissance, de problèmes «complets pour un théorème». Par exemple, comme cadre général, les auteurs pourraient décrire un problème de communication donné et prouver ensuite qu'un théorème connexe T détient i f f le problème de communication peut être résolu en X bits ou moins (pour certains X qui dépendent du théorème spécifique / paire de problèmes en question). La terminologie utilisée alors dans la littérature est que P est "complet" pour $P$$T$$iff$$X$$X$$P$$T$ .

En outre, il y a une ligne alléchante dans le projet de chapitre sur la complexité de la communication Arora / Barak (qui semble avoir été supprimée / modifiée dans l'impression finale) qui dit "En général, on peut considérer des protocoles de communication analogues à , c o N P , P H etc. " Cependant, je remarque deux omissions importantes:$NP$$coNP$$PH$

1. Le concept "analogue" semble être une manière de calculer la complexité de la communication de la résolution d'un protocole donné avec accès à différents types de ressources, mais ne suffit pas à définir des classes de complexité de communication appropriées ...
2. La plus grande partie de la complexité de la communication semble être relativement "de bas niveau", dans le sens où l'écrasante majorité des résultats / théorèmes / etc. s'articulent autour de petites valeurs spécifiques de taille polynomiale. Cela soulève un peu la question de savoir pourquoi, disons, est intéressant pour le calcul, mais le concept analogue semble être moins intéressant pour la communication. (Bien sûr, je pourrais simplement être en faute parce que je ne suis tout simplement pas au courant des concepts de complexité de communication "de niveau supérieur".) $NEXP$

Question (s) :

Existe-t-il un concept analogue aux classes de complexité de calcul pour la complexité de la communication?

Et:

Dans l'affirmative, comment se compare-t-elle à la notion «standard» de classes de complexité? (Par exemple, y a-t-il des limitations naturelles aux "classes de complexité de communication" qui les rendent intrinsèquement en deçà de la gamme complète des classes de complexité de calcul?) Sinon, quelle est la "vue d'ensemble" pour laquelle les classes sont un formalisme intéressant pour la complexité de calcul, mais pas pour la complexité de la communication?

Il semble que vous recherchiez ce document: http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1382439.1382962

Les classes de complexité en complexité de la communication ont été introduites par Babai, Frankl, Simon dans l'article cité par Noam. Le document développe également l'idée d'exhaustivité sous des réductions appropriées. Par exemple, si vous décrivez les classes NP et co-NP, il est très logique de décrire également le problème de disjonction (co-NP complet).

Quant à vos deuxièmes questions, si P est (dans la complexité de la communication) la classe de problèmes résolus avec la communication polylog (n) de manière déterministe, alors la classe EXP devrait être l'ensemble des problèmes résolubles avec la communication poly (n), qui est tout simplement tout. Il semble donc que de telles classes ne soient pas intéressantes.

Cependant, il existe un autre moyen d'obtenir des classes plus importantes. PSPACE est déjà défini (par Babai et al.) Non pas en termes de notion d'espace, mais en termes d'alternance. Les épreuves interactives sont un autre moyen d'obtenir de grandes classes de complexité. Vous pouvez donc définir la classe MIP comme l'ensemble des problèmes pouvant être résolus dans un jeu de communication avec deux prouveurs (qui ne peuvent pas se parler) et deux vérificateurs (qui peuvent se parler et aux prouveurs).

Dans le monde des machines de Turing, MIP = NEXP, mais qu'en est-il de la complexité de la communication (où NEXP ne semble pas avoir de sens)? Tout d'abord, MIP n'est pas seulement l'ensemble de tous les problèmes dus à un simple argument de comptage.

Andrew Drucker (dans sa thèse de maîtrise) a montré quelque chose d'intéressant sur ce cours. Il considère les PCP dans la complexité de la communication, qui (par des techniques standard) sont équivalentes aux protocoles MIP (son résultat est un peu plus fort que ce que je déclare ici).

Ce qu'il montre, c'est que pour chaque problème dans NP (la classe de machine de Turing) et pour toute façon de diviser les entrées, le problème de communication résultant a un protocole MIP avec un polylog de communication (n) (c'est-à-dire que le problème est dans la (complexité de la communication) classe MIP).

Ainsi, bien que MIP ne soit pas tout, trouver un problème explicite qui n'est pas dans MIP devrait être difficile (non pas parce que nous ne pouvons pas trouver des problèmes qui ne sont pas dans NP, mais parce qu'il n'est pas facile d'imaginer comment la complexité de la machine de Turing peut entrer en jeu ).

Il n'est peut-être pas surprenant que montrer des limites inférieures pour MIP soit difficile, car nous ne savons même pas comment prouver des limites inférieures pour les protocoles AM.

Une section du Zoo de complexité répertorie les classes de complexité de communication les plus importantes.

La raison fondamentale pour laquelle il existe de telles limites à la complexité de la communication est qu'il n'y a jamais qu'une quantité linéaire d'informations totales qui doivent être communiquées (les entrées). Bien que Hartmut Klauck ait déjà essentiellement souligné cela dans sa réponse, je voulais mettre en évidence une réponse à l'autre OQ concernant la raison sous-jacente de cette limitation fondamentale, à savoir que les joueurs ne sont pas calculés sans limite .

$d(n)$$O(d(n)\log n)$ bits pour être communiqué. Quand$d(n)=O(1)$