Problèmes NP-intermédiaires avec des solutions quantiques efficaces

Peter Shor a montré que deux des problèmes NP-intermédiaires les plus importants, l'affacturage et le problème de log discret, sont en BQP. En revanche, le meilleur algorithme quantique connu pour SAT (recherche de Grover) ne produit qu'une amélioration quadratique par rapport à l'algorithme classique, laissant entendre que les problèmes NP-complets sont toujours insolubles sur les ordinateurs quantiques. Comme le soulignent Arora et Barak, il y a aussi un problème dans BQP qui n'est pas connu pour être dans NP, conduisant à la conjecture que les deux classes sont incomparables.

Y a-t-il des connaissances / conjectures sur la raison pour laquelle ces problèmes NP-intermédiaires sont dans BQP, mais pourquoi SAT (à notre connaissance) ne l'est pas? D'autres problèmes NP-intermédiaires suivent-ils cette tendance? En particulier, l'isomorphisme des graphes est-il dans BQP? (celui-ci ne fonctionne pas bien sur Google).

L'isomorphisme des graphes n'est pas connu pour être en BQP. Il y a eu beaucoup de travail pour essayer de l'intégrer. Une observation très intrigante est que l'isomorphisme des graphes pourrait être résolu si les ordinateurs quantiques pouvaient résoudre le problème du sous-groupe caché non abélien pour le groupe symétrique (l'affacturage et le journal discret sont résolus par en utilisant le problème des sous-groupes cachés abéliens, qui à son tour est résolu en appliquant la transformée de Fourier quantique sur les groupes abéliens).

L'une des façons dont les gens ont essayé de résoudre l'isomorphisme des graphes a été d'appliquer la transformée de Fourier quantique à des groupes non abéliens. Il existe des algorithmes pour la transformée de Fourier quantique pour de nombreux groupes non abéliens, y compris le groupe symétrique. Malheureusement, il semble qu'il ne soit pas possible d'utiliser la transformée de Fourier quantique pour le groupe symétrique pour résoudre l'isomorphisme du graphe; il y a eu pas mal d'articles écrits à ce sujet qui montrent que cela ne fonctionne pas, étant donné diverses hypothèses sur la structure de l'algorithme. Ces documents sont probablement ce que vous trouvez lorsque vous utilisez Google.

La réponse du folklore est que l'affacturage est "structuré" de manière à ce que les problèmes généraux NP-complets ne le soient pas, et c'est pourquoi nous n'avons pu trouver un avantage quantique que pour les problèmes intermédiaires.

Une version plus simple de votre question est sans doute de ne pas regarder la complexité de calcul, mais la complexité des requêtes des fonctions booléennes. Ici, nous pouvons dire certaines choses de manière prouvable, comme le fait que les accélérations superpolynomiales ne sont possibles que pour les fonctions partielles (prouvées dans http://arxiv.org/abs/quant-ph/9802049 ) et non pour les fonctions symétriques dans leurs entrées et résultats (prouvés dans http://arxiv.org/abs/0911.0996 ).

Ces résultats n'éclairent pas directement la question BQP vs NP, mais je pense que ce sont des étapes significatives pour déterminer où il y a un avantage quantique.