Les réductions les plus intimes sont-elles perpétuelles dans le λ-calcul non typé?

(J'ai déjà posé cette question à MathOverflow, mais je n'ai obtenu aucune réponse.)

Contexte

Dans le calcul lambda non typé, un terme peut contenir de nombreux redex, et différents choix sur lesquels réduire peuvent produire des résultats extrêmement différents (par exemple $(\lambda x.y)((\lambda x.xx)\lambda x.xx)$ qui, en une étape ( $\beta$ -) se réduit soit à $y$ soit à elle-même). Différentes (séquences de) choix de réduction sont appelées stratégies de réduction . Un terme $t$ est censé normaliser s'il existe une stratégie de réduction qui apporte $t$ à la forme normale. Un terme $t$ serait fortement normalisant si chaque stratégie de réduction ramène $t$ à sa forme normale. (Je ne m'inquiète pas, mais la confluence garantit qu'il ne peut y avoir plus d'une possibilité.)

Une stratégie de réduction est censée normaliser (et est dans un certain sens la meilleure possible) si chaque fois que $t$ a une forme normale, c'est là que nous finirons. La stratégie la plus à gauche se normalise.

À l'autre extrémité du spectre, une stratégie de réduction est dite perpétuelle (et est en quelque sorte la pire possible) si chaque fois qu'il y a une séquence de réduction infinie à partir d'un terme $t$ , alors la stratégie trouve une telle séquence - en d'autres termes, nous pourrions éventuellement ne pas normaliser, alors nous le ferons.

Je connais les stratégies de réduction perpétuelle et données respectivement par: $F_\infty$ $F_{bk}$ et

\begin{array}{ll} F_{b k} (C [(λ X . s) t]) = C [s [t / X]] & si t est en train de normaliser fortement \\ F_{b k} (C [(λ X . s) t]) = C [(λ X . s) F_{b k} (t)] & autrement \end{array}

$\begin{array}{ll} F_{bk}(C[(\lambda x.s)t])=C[s[t/x]] & \text{if $t$ is strongly normalizing} \\ F_{bk}(C[(\lambda x.s)t])=C[(\lambda x.s)F_{bk}(t)] & \text{otherwise} \end{array}$

(dans les deux cas, le

redexindiquéest leplus à gauchedans le terme

- et sur les formes normales , les stratégies de réduction sont nécessairement identitaires.) La stratégie

est mêmemaximale- si elle normalise un terme, elle a alors utilisé une séquence de réduction la plus longue possible. (Voir par exemple 13.4 dans le livre de Barendregt.)

\begin{array}{ll} F_{\infty} (C [(λ X . s) t]) = C [s [t / X]] & si X se produit dans s, ou si t est en forme normale \\ F_{\infty} (C [(λ X . s) t]) = C [(λ X . s) F_{\infty} (t)] & autrement \end{array}

$\begin{array}{ll} F_\infty(C[(\lambda x.s)t])=C[s[t/x]] & \text{if $x$ occurs in $s$, or if $t$ is on normal form} \\ F_\infty(C[(\lambda x.s)t])=C[(\lambda x.s)F_\infty(t)] & \text{otherwise} \end{array}$

β

$\beta$

C [(λ x . s) t]

$C[(\lambda x.s)t]$

F_{\infty}

$F_\infty$

Considérons maintenant la stratégie de réduction la plus à gauche . Informellement, cela ne réduira qu'un redex qui ne contient aucun autre redex. Plus formellement, il est défini par $\beta$

\begin{array}{ll} L (t) = t & si t sous forme normale \\ L (λ X . s) = λ X . L (s) & pour s pas sous forme normale \\ L (s t) = L (s) t & pour s pas sous forme normale \\ L (s t) = s L (t) & si s, mais non t est en forme normale \\ L ((λ X . s) t) = s [t / X] & si s, t les deux sous forme normale \end{array}

$\begin{array}{ll} L(t) = t &\text{if $t$ on normal form}\\ L(\lambda x.s) = \lambda x. L(s) &\text{for $s$ not on normal form}\\ L(st) = L(s)t &\text{for $s$ not on normal form}\\ L(st) = s L(t) &\text{if $s$, but not $t$ is on normal form}\\ L((\lambda x. s)t) = s[t/x] &\text{if $s$, $t$ both on normal form} \end{array}$

L'intuition naturelle pour la réduction la plus à gauche est qu'elle fera tout le travail - aucun redex ne peut être perdu, et donc il devrait être perpétuel. Étant donné que la stratégie correspondante est perpétuelle pour la logique combinatoire (non typée) (les réductions les plus internes sont perpétuelles pour tous les TRW orthogonaux), cela ne ressemble pas à un optimisme aux yeux bleus totalement sans entraves ...

La réduction la plus à gauche est-elle une stratégie perpétuelle pour le -calculus non typé ? $\lambda$

Si la réponse s'avère «non», un pointeur sur un contre-exemple serait également très intéressant.

— kow
source

Crosspost de MO.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

... comme mentionné dans la toute première ligne.

— kow

@kow: Oui, vous avez raison, et il n'y a rien de mal avec le crossposting :) Le lien est juste pour l'avantage de suivre à la fois les commentaires et les réponses en MO, afin d'éviter les doubles réponses. Voir la discussion sur la méta .

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@kow: Lorsque vous posez une question la prochaine fois, n'oubliez pas d'ajouter un lien, de préférence dans les deux sens.

— Tsuyoshi Ito

L (L (s) t)

$L(L(s)t)$

s

$s$

L (s)

$L(s)$

L (L (s))

$L(L(s))$

$tt$ $t=(\lambda x. (\lambda y.1) (x x))$ $L$

$L(tt)=L(t)t=L(\lambda x.(\lambda y.1) (x x))t=(\lambda x.L((\lambda y.1) (x x)))t=(\lambda x.1)t$

La première étape de réduction avec est $F_\infty$ $F_\infty([(\lambda x.(\lambda y.1 (x x))) t]))=(\lambda y.1) (tt)$

— Radu GRIGore
source