Ajoutez une correspondance à un chemin hamiltonien pour réduire la distance maximale entre des paires de sommets données

Quelle est la complexité du problème suivant?

Entrée :

unchemin hamiltonienen $H$ $K_n$
un sous-ensemble de paires de sommets $R \subseteq [n]^2$
un entier positif $k$

Requête : existe-t-il un correspondant tel que pour chaque , ? (où ) $M$ $(v,u) \in R$ $d_G(v,u) \leq k$
$G = ([n], M\cup H)$

J'ai eu une discussion avec un ami sur ce problème. Mon ami pense que le problème est en temps polynomial. Je pense que c'est NP-complet.

— pfim
source

Vous pouvez encore simplifier cela, au moins en termes de présentation. On vous donne

, un chemin avec

sommets et une collection

de paires de ces sommets. Vous voulez augmenter le chemin avec une correspondance afin que la distance entre n'importe quelle paire dans

soit au plus

k

$k$

n

$n$

R

$R$

R

$R$

k

$k$

— Sasho Nikolov

Je pense que cette formulation peut prêter à confusion après ma dernière modification pour lever une ambiguïté.

— pfim

Mon interprétation est correcte, n'est-ce pas?

— Sasho Nikolov

J'ai fait un montage pour rendre l'énoncé du problème plus rigoureux. Je pense que cela peut être encore simplifié parce que vous pouvez simplement supposer que H est le chemin hamiltonien 1-2-3-4-5 ...- n sans perte de généralité. Vous avez donc juste besoin de

n

$n$

— Kaveh

Réponses:

Cette réponse est incorrecte .

Votre ami a raison. Votre problème (tel qu'interprété par Sasho) ne place aucune restriction sur la cardinalité du correspondant . Par conséquent, choisir à une mise en correspondance entre les paires de . Alors pour tout entier positif , la distance entre chaque paire dans est inférieure à . $C$ $C$ $R$ $k$ $R$ $k$

Votre problème devient intéressant si vous forcez les chemins pour contenir les bords de la fois la mise en correspondance et le chemin . $C$ $P$

— Mohammad Al-Turkistany
source

Qu'entendez-vous par «correspondance entre les paires de

»?

R

$R$

— Emil Jeřábek soutient Monica le

@ EmilJeřábek Cela signifie connecter les nœuds de chaque paire dans

par un bord. Donc

est juste

avec un bord reliant chaque paire. Cela équivaut à augmenter le chemin

avec une marche parfaitement sur les paires de

R

$R$

C

$C$

R

$R$

P

$P$

R

$R$

— Mohammad Al-Turkistany

Cela ne me semble pas très logique. Et si

n'est pas une correspondance? Disons que si

contient les paires

, comment choisissez-vous

R

$R$

R

$R$

(1, 2)

$(1,2)$

(1, 3)

$(1,3)$

C

$C$

— Emil Jeřábek soutient Monica le

@ EmilJeřábek Oui. Votre point est valable. Je vais modifier ma réponse.

— Mohammad Al-Turkistany

@pfim Le chemin le plus court peut-il être formé en utilisant uniquement les arêtes de

C

$C$

— Mohammad Al-Turkistany le

MISE À JOUR: la réponse ci-dessous n'est pas correcte, car j'ai supposé à tort que le chemin hamiltonien est dans un graphe arbitraire, pas dans . Je ne le supprime pas, je pourrai peut-être le réparer ou il donnera quelques indices pour une autre réponse. $K_n$

Je pense que c'est NP-complet. Ceci est une idée de réduction très informelle / rapide de 3SAT

Pour chaque variable ajouter un « gadget variable » avec: $x_i$

trois nœuds $X_i, +X_i, -X_i$
deux bords variables et $(X_i,+X_i)$ $(X_i,-X_i)$

Ajoutez un nœud source et connectez-le à toutes les variables . $S$ $X_i$

Pour chaque clause ajoutez un nœud et connectez-le aux variables correspondantes ou qui forment la clause. $C_j$ $C_j$ $+X_i$ $-X_i$

L'image suivante représente: $(+x_1 \lor -x_2 \lor -x_3) \land (-x_2 \lor x_3 \lor x_4)$

L'ensemble (nœuds qui doivent être liés) contient $R$ $(S, C_1), (S,C_2), ...$

Le chemin simple doit inclure toutes les arêtes "BLEUES" à l'exception des arêtes variables et (dans l'image ci-dessus, les arêtes bleues représentent les arêtes que nous incluons dans ). $P$ $(X_i, +X_i)$ $(X_i, -X_i)$ $P$

À ce stade, la formule initiale est satisfaisable si et seulement si le chemin le plus court de à chaque nœud de clause n'est pas supérieur à trois. En effet pour atteindre une clause de en trois étapes il faut parcourir au moins une variable : . Il faut donc traverser l'une des deux arêtes: ou et l'inclure dans $S$ $C_j$ $S$ $X_i$ $S \to X_i \to \pm X_i \to C_j$ $X_i \to +X_i$ $X_i \to -X_i)$ $C$ (car par construction ça ne fait pas partie de ). Mais les deux ne peuvent pas être inclus, car ils partagent un sommet. $P$

Mais nous ne sommes pas sûrs de pouvoir construire un chemin simple qui inclut tous les bords bleus car certains nœuds ont plus d'un bord bleu incident. $P$

Pour résoudre ce problème, nous remplaçons chaque nœud par plusieurs bords bleus incidents, par un arbre qui ne contient que des paires de bords bleus incidents qui seront inclus dans et des bords qui les séparent et qui devraient être inclus dans pour atteindre les nœuds de la clause: $P$ $C$

Le graphique d'origine devient:

$K$ $C_j$ $S$

$C$

$P$

— Marzio De Biasi
source

Essayer de construire un chemin contenant toutes les arêtes bleues m'inquiète: certains sommets ont plus de 2 arêtes bleues incidentes sur eux, il ne peut donc pas y avoir de chemin simple comprenant toutes les arêtes bleues.

— Mikhail Rudoy

Ok, merci ... J'ai complètement oublié ce qu'est un chemin simple :-( ... maintenant il devrait être corrigé.

— Marzio De Biasi

Ce post sur math.SE suggère que le problème peut ne pas être NP-complet. Il pourrait être intraitable mais résoluble en temps quasipolynomial math.stackexchange.com/questions/2218929/...

— Mohammad Al-Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany: voyez-vous une faille dans la version actuelle de la réponse?

— Marzio De Biasi

Non, je ne vois aucun défaut évident.

— Mohammad Al-Turkistany du