Existe-t-il des langages NP ou P complets très symétriques?

Existe-t-il , un langage NP ou P-complet qui a une famille de groupes de symétrie G n (ou groupoïde , mais alors les questions algorithmiques deviennent plus ouvertes) agissant (en temps polynomial) sur des ensembles L n = { l ∈ L ∣ | l | = n } tel qu'il y ait peu d'orbites, ie tel que | L n / G n | < n c pour assez grand n et certains c , et tel que G $L$$G_n$$L_n = \{ l \in L \mid |l| = n \}$$|L_n / G_n| < n^c$$n$$c$$G_n$peut être généré étant donné efficacement?$n$

Le point ici est que si l'on trouve un langage / groupe tel que celui-ci, et si l'on peut trouver des formes normales sous des actions de groupe de temps polynomial dans , alors on peut réduire L par une réduction de P T I M E à une langue clairsemée par calculer la forme normale pour tout N donné , ce qui implique que P = N P ou L = $\mathrm{FP}$$L$$\mathrm{PTIME}$$N$$\mathrm{P = NP}$$\mathrm{L = P}$, selon que vous avez choisi une langue NP ou P-complete au départ, respectivement. Il semble donc qu'il n'y ait pas de tels groupes avec des orbites clairsemées ou que le calcul des formes normales soit difficile pour tous ces groupes ou l'un de ces résultats tiendra, ce que je pense que la plupart d'entre nous ne croient pas. Il semblerait également que si l'on peut calculer la relation d'équivalence sur les orbites au lieu des formes normales, on pourrait toujours le faire de manière non uniforme, en . En espérant que d'autres personnes y réfléchissent.$\mathrm{P/poly}$

Pour NP, cela semble difficile à construire. En particulier, si vous pouvez également échantillonner des éléments (presque) uniformes de votre groupe - ce qui est vrai pour de nombreuses façons naturelles de construire des groupes - alors si un langage NP-complet a une action de groupe poly-temps avec peu d'orbites, le PH s'effondre. Car, avec cette hypothèse supplémentaire sur l'échantillonnage, le protocole standard pour l'isomorphisme graphique fonctionne également pour tester si deux chaînes sont dans la même orbite G n . On aurait alors N P ⊆ c o A M / p o l y = c o N P /$\mathsf{coAM}$$G_n$ ,sorteeffondrement de PH à Z P P N P . Ainsi, pour éviter l'effondrement du PH, une telle construction pour NP nécessiterait que les groupesnedisposentpasd'un échantillonneur efficace presque uniforme.$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{coAM/poly} = \mathsf{coNP/poly}$$\mathsf{ZPP}^{\mathsf{NP}}$

Mon intuition est qu'un langage NP-complet de ce type entraînerait un effondrement de la hiérarchie polynomiale un peu comme celui du théorème de Karp-Lipton.

Plus précisément, si vous montez au deuxième niveau de la hiérarchie polynomiale, vous pouvez utiliser le pouvoir de la hiérarchie pour deviner l'équivalence entre un élément de groupe donné et un représentant d'une classe d'équivalence, puis vous revenez au Karp –Lipton cas où le fait que vous ayez plusieurs entrées polynomiales inéquivalentes vous place en P / poly.

(Le résultat devrait être le même que la réponse de Joshua Grochow, mais sans l'hypothèse supplémentaire de l'échantillonnage.)